Infinity Is More Complex Than You Might Think¶

数学宇宙的尽头是秩序还是混沌？¶

我们通常认为“无穷”就是一个概念，代表着无限、无尽。

一种新型的无穷数似乎打破了极大数行为的规则，可能会重新绘制数学宇宙的排列方式。

infinity

1878年，Georg Cantor 首次证明了实数集——包括负数和小数——实际上比自然数（或称为整数）集更大。他用严谨的数学方法证明，虽然整数（1, 2, 3...）有无穷多个，但所有小数（包括像π这样的无理数）组成的集合，其“无穷”的程度更大。证明这一点依赖于对两个集合的精密比较，而非尝试去“数清”它们。

基于 Cantor 的工作，数学家们发现可以不断地构造出越来越大的无穷集合。这就形成了一个像梯子一样的等级体系，每一级的无穷都比前一级更大。这个阶梯本身也是无限延伸的，被称为无穷阶梯（The Ladder of Infinities），每一级都比前一级更大，这个阶梯本身也是无限的。

20世纪初，数学家又试图为整个数学体系建立严谨的基础，提出了一套基础公理，用于构建和证明其他所有理论。今天最被广泛接受的体系称为策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），你可以把它想象成数学世界的“宪法”或“游戏规则手册”。其中包含一条有争议的规则——选择公理（axiom of choice），这是其中一条非常有争议的规则。选择公理声称，我们总可以通过从其他集合中挑选元素来构造一个新集合，但它并不明确告诉你如何进行选择。一些数学家认为，在处理无穷集合时这一规则不成立，因为它要求你断言某些数学对象的存在，却不给出构造它们的方法。然而，随着时间推移，这条公理逐渐被接受，并成为划分无穷阶梯的重要工具，将其分为三个广义区域：

底层区域：较小的、行为良好的无穷，完全遵守所有公理，也就是 Cantor 研究的实数与自然数的无穷。
中间区域：更大的无穷，它们依然在公理体系的框架内。
顶层“混沌”区域：巨大到极致的无穷，数值大到所有集合论公理都失效，包括选择公理，充满了不确定性。

而现在，一种全新的“无穷”有可能颠覆这一秩序，甚至重新定义数学宇宙的结构。

奥地利 Juan Aguilera 提出了两种新的无穷大小（https://arxiv.org/abs/2411.11568），称为精确基数（exacting cardinals）和超精确基数（ultra-exacting cardinals），它们不再遵循传统规则。“它们并不完全适应这一线性等级体系，它们与其他无穷概念的相互作用非常非常奇特。”

Aguilera 定义了这些集合，使其大到足以包含自身整个结构的精确数学副本——有点像一个房子内部包含了多个自身的全比例模型——同时也包含更大集合的小版本，就像房子里还放了一个周围社区甚至城市的模型。而超精确基数还遵循进一步的一条规则：这些集合还必须包含生成自身的数学规则本身——仿佛这个嵌套的房子还贴满了自己的建筑蓝图。

新无穷到底在哪？它意味着什么？ “精确基数”看起来应该属于中间区域，但它们的奇特性质似乎又与这个区域的规则有冲突。它们可能位于中间区域的最顶端，也可能开辟了一个全新的第四区域，一个独立于现有阶梯的维度。

这个问题不仅仅是给无穷大“排座位”，它直接关系到一个关于数学宇宙本质的重大猜想——HOD猜想（HOD conjecture）。

HOD猜想主张什么？这个猜想通俗地讲，认为当无穷大到接近极限时，数学宇宙并不会陷入“混沌”，反而会变得更加有序和结构化。“选择公理”在这些极大尺度上会变得更“合理”。它本质上是在为数学宇宙的“秩序性”辩护。

新无穷的颠覆性：如果“精确基数”的存在被数学界广泛接受，那么它们强烈的自我指涉和复杂性就暗示了HOD猜想可能是错的。这意味着数学宇宙的尽头可能不是秩序，而是混沌。

正是这些不同寻常的特性，使得这些集合“跌出”了原有的无穷阶梯，因为它们干扰了上述数学中一些最根本的规则。如果数学界广泛接受这些精确基数的存在——这还不确定，毕竟它们的存在已经触及数学与哲学的边界——那么“这强烈暗示 HOD 猜想可能是错误的，也就是说，混沌占据了主导地位"。