2. 球面三角学¶

为了处理涉及地球卫星的实际问题，必须处理三维（3D）角度关系。球面三角学（spherical trigonometry）是确定诸如从地面观测卫星的仰角与方位角，或从卫星观测地面发射机或接收机角度等数值的必要工具。

本章并不旨在完整覆盖球面三角学，而仅提供解决后续章节中卫星相关问题所需的基础知识。

我们将讨论基本的三角学公式：首先介绍平面三角学（plane trigonometry），然后是球面三角学（spherical trigonometry）。随后我们将推导出若干在电子战（EW）应用中十分重要的几何关系公式。

2.1 平面三角学（PLANE TRIGONOMETRY）¶

首先，让我们回顾一些平面三角学知识。本书中讨论的许多问题将同时使用平面和球面三角关系。平面三角学研究位于平面内的三角形。如图2.1所示，三角形有三条边和三个角。边具有物理长度，而平面三角形的三个内角之和为\(180^{\circ}\)。通常的做法是用小写字母标记三角形的三条边，并用与该边相对的对应大写字母标记角。

图2.1 平面三角形位于一个平面中。

2.1.1 正弦定理（The Law of Sines）¶

在任意平面三角形中，三边与三个角之间的关系为：

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \]

也就是说，一条边的长度与其所对角的正弦之比，与其他两边及其所对角的正弦之比相等。

2.1.2 余弦定理（边式）（The Law of Cosines for Sides）¶

任意平面三角形的边与角之间的关系可由两个公式表示，其中一个称为余弦定理（边式）：

\[ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A \]

当已知两边及其夹角时，该公式非常有用。

2.1.3 余弦定理（角式）（The Law of Cosines for Angles）¶

另一种余弦定理适用于已知两个角的情况，称为余弦定理（角式）：

\[ a=b \cos C+c \cos B \]

这三个公式与接下来介绍的球面三角学公式，将在本书后续章节的大多数问题中被使用。

2.1.4 直角平面三角形（Right Plane Triangle）¶

如图2.2所示，直角平面三角形只是一个具有\(90^{\circ}\)角的平面三角形。

图2.2 直角平面三角形有一个角为\(90^{\circ}\)。

2.2 球面三角形（THE SPHERICAL TRIANGLE）¶

球面三角形（spherical triangle）是基于一个单位球体（unit sphere）定义的，该球的半径为1，如图2.3所示。在导航问题中，该球体的原点（中心）位于地球中心；在视轴角问题中位于天线中心；在武器交战场景中位于飞机中心。此类应用有无数种，但对于每种应用，球心都被放置在一个能够使计算结果提供所需信息的位置。

图2.3 球面三角学基于单位球中的几何关系。球体的原点（中心）是与所求解问题相关的点。

球面三角形的边必须是单位球大圆（great circle）的一部分，也就是说，这些边位于球面与经过球心的平面相交的圆弧上。球面三角形的角是这些平面相交时形成的夹角。球面三角形的边与角均以角度表示。一条边的大小即该边两个端点在球心处所张的角。

按照通常的命名方式，边用小写字母表示，角用与该边相对的对应大写字母表示，如图2.4所示。

需要认识到，平面三角形的一些性质并不适用于球面三角形。例如，球面三角形的三个角都可以是\(90^{\circ}\)。

2.3 任意球面三角形中的三角关系（TRIGONOMETRIC RELATIONSHIPS IN ANY SPHERICAL TRIANGLE）¶

尽管存在许多三角函数公式，但在电子战（EW）应用中最常使用的三种是正弦定理、角的余弦定理和边的余弦定理。在这些公式中，小写字母表示边的长度，大写字母表示与该边相对的角的大小。我们在本书中将角度和边的量都以度数表示，但请注意，也可以使用其他角度单位（如梯度或弧度）以满足实际需要。

图 2.4 球面三角形的三边均位于球体的大圆上。三角形的三个角是包含这些大圆的平面之间的交角。

这些函数定义如下：

2.3.1 球面三角形的正弦定理（Law of Sines for Spherical Triangles）¶

\[ \frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C} \]

2.3.2 边的余弦定理（Law of Cosines for Sides）¶

\[ \cos a=\cos B \cos C+\sin B \sin C \cos a \]

2.3.3 角的余弦定理（Law of Cosines for Angles）¶

\[ \cos A=-\cos B \cos C+\sin B \sin C \cos a \]

其中 \(a\) 可以是你考虑的任意边，\(A\) 则是与该边相对的角。你会注意到，这三个公式在形式上与平面三角形的对应公式非常相似。

2.3.4 直角球面三角形（The Right Spherical Triangle）¶

如图 2.5 所示，直角球面三角形中有一个角为 \(90^{\circ}\)。该图描述了在导航问题中，地球表面某点的经纬度是如何表示的，许多电子战应用也可以利用类似的直角球面三角形进行分析。

图 2.5 直角球面三角形包含一个 \(90^{\circ}\) 的角。

2.3.5 纳皮尔规则（Napier's Rules）¶

对于直角球面三角形，可以使用一组由纳皮尔规则（Napier's rules）推导出的简化球面三角函数公式。请注意图 2.6 中的五段圆盘包含了直角球面三角形中除了 \(90^{\circ}\) 角以外的所有部分。还要注意，其中三部分前带有“co-”，这意味着在应用纳皮尔规则时，该部分的三角函数需转换为余函数（例如正弦变为余弦）。

图 2.6 纳皮尔规则允许通过该五段圆盘简化直角球面三角形的公式。

纳皮尔规则如下：

中间部分的正弦等于相邻两部分正切的乘积。（记得处理“co-”。）
中间部分的正弦等于对边两部分余弦的乘积。（记得处理“co-”。）

以下是由纳皮尔规则生成的若干示例公式：

\[ \begin{aligned} & \sin a=\tan b \operatorname{cotan} B \\ & \cos A=\operatorname{cotan} c \quad \tan b \\ & \cos c=\cos a \quad \cos b \\ & \sin a=\sin A \quad \sin c \end{aligned} \]

当这些公式应用于地球卫星及其他实际电子战问题时，将极大简化球面三角计算，前提是你能将问题设置为包含一个直角球面三角形。

2.4 问题中使用的平面与球面三角形示例（EXAMPLES OF PLANE AND SPHERICAL TRIANGLES USED IN PROBLEMS）¶

图 2.7 展示了地球表面上的一个球面三角形。三角形的三个顶点分别是北极（点 A）、子载点（sub-vehicle point, SVP）（点 B）以及地球表面一个接收机的位置（点 C）。子载点是位于卫星正下方的地球表面点。

图 2.7 此球面三角形由北极、子载点和接收机位置构成。

角 A 是子载点与接收机之间的经度差。角 B 是子载点到北极的路径与子载点到接收机的路径之间的夹角。角 C 是接收机到北极的路径与接收机到子载点的路径之间的夹角。边 a 是子载点与接收机之间的地心夹角。边 b 是 \(90^{\circ}\) 减去接收机的纬度。边 c 是 \(90^{\circ}\) 减去子载点的纬度。

图 2.8 展示了一个平面三角形，该三角形位于卫星、接收机位置与地球中心构成的平面内。三角形的三个内角分别是卫星与接收机位置之间的地心夹角（D），从卫星角度看地球中心与接收机位置之间的夹角（E），以及从接收机角度看地球中心与卫星之间的夹角（F）。边 d 是卫星与接收机位置之间的直线距离。边 e 是地球的半径。边 f 是地球中心到卫星的距离。你可能注意到，平面三角形中的角 D 与图 2.7 中球面三角形的边 a 值相同。

你将在后续章节中看到这两个三角形的应用。

图 2.8 从卫星到地球表面接收机的传播距离可以通过卫星位置、接收机位置和地球中心构成的平面三角形来计算。