C 分贝数学¶
C.1 分贝数值¶
本书中使用的数学主要是“分贝数学”（dB math），这在电子战（EW, Electronic Warfare）领域非常流行，因为它可以方便地比较非常大的数值（例如发射信号强度）与非常小的数值（例如接收信号强度）。
在电子战中，我们经常需要处理范围极大的信号强度值，同时也会涉及到非整数次幂与开方的运算。使用分贝（decibel，简称 dB）形式的数值与公式，可以大大简化这些运算。
任何以分贝表示的数值本质上是对数形式的，这使得我们可以方便地比较相差多个数量级的数值。（需要注意的是，以非分贝形式表示的数值被称为“线性形式”，以区别于对数的分贝形式。）分贝形式的数值具有如下便利：
- 线性数值相乘：其对数相加；
- 线性数值相除：其对数相减；
- 线性数值的 \(n\) 次方：其对数乘以 \(n\)；
- 线性数值开 \(n\) 次方根：其对数除以 \(n\)。
为了最大限度地发挥这种简化运算的优势，通常在计算过程的早期就将数值转换为分贝形式，而尽可能晚（如果有必要的话）再转换回线性形式。在很多情况下，最终结果的常见表达形式就是分贝形式，因此甚至可以完全避免转换回线性值。
需要理解的一点是，任何以分贝单位表示的值必须是一个比值（然后将其转换为对数形式）。常见示例如下：
- 放大器增益（即输出信号强度与输入信号强度之比）；
- 天线增益（也可视为一种增益比值，但有一些限定条件）；
- 各类损耗（即信号衰减比），例如通过以下器件时的信号损失：
- 电缆；
- 开关（关闭时的衰减远大于打开时，但打开时也存在一定损耗）；
- 功率分配器（即各个输出端口的信号功率与输入功率之比）；
- 滤波器。
为了构建可用的分贝形式公式，必须将某些绝对值也表示为分贝数值。其中最常见的示例是以 dBm 为单位的信号强度。由于分贝值必须是比值，所以需要一个“技巧”：将目标绝对值与一个固定参考值（如 1 毫瓦）形成比值，并将该比值转换为分贝形式。例如，dBm 就是“信号强度与 1 毫瓦的比值”的分贝表示形式。
C.2 转换为分贝形式¶
在以下讨论中，我们将使用对数（logarithm），简称 “log”。此处使用的是以 10 为底的常用对数，也就是你在计算器上按下 “LOG” 键所得到的结果。
将线性比值转换为分贝的基本公式为：
例如，2（即 2:1 的比值）转换为分贝形式为：
（准确值为 3.0103 dB，但通常四舍五入为 3 dB），而 \(1/2\)（即 0.5）转换为：
要进行这种转换，最好使用带有 \(\log\) 和 \(10^x\) 功能的科学计算器。
从对数形式“还原”回线性形式的另一种表达方式是使用“Antilog（对数反函数）”，即：
例如，3 dB 还原为线性形式为：
C.3 分贝形式的绝对值¶
如前所述，最常见的以分贝表示的绝对值示例是以 dBm 为单位的信号强度。dBm 是指信号功率与 1 毫瓦（mW）之间的比值转换为分贝形式的结果。
dBm 是一个特别重要的单位，因为本书中的许多核心公式的起点或终点（或两者）都涉及信号强度的 dBm 值。例如，将 \(4\,\mathrm{W}\) 转换为 dBm：
反过来，从 dBm 转换回线性形式：
C.4 分贝形式的公式¶
分贝形式的公式使用的是绝对值（通常以 dBm 表示）和比值（以分贝表示）。典型的公式通常在等式的每一边只包含一个 dBm 项（可叠加多个以分贝表示的比值项），或者完全由分贝比值构成，或是两个 dBm 值的差值（即比值转换后的分贝形式）。最简单的分贝形式公式之一就是放大器的公式，它将输入信号乘以一个增益因子。
放大器的线性形式表达为：
其中 \(P_{o}\) 为输出功率，\(P_{I}\) 为输入功率，\(G\) 为放大器的增益。
两个功率值都以线性单位表示（例如毫瓦），而 \(G\) 是线性形式的增益因子（如 100）。若输入功率为 1 mW，放大器增益为 100，则输出为 \(100\,\mathrm{mW}\)。
将输入功率转换为 dBm，增益转换为分贝后，公式变为：
此时输出功率以 dBm 表示。仍以上述数值为例，1 mW 转换为 0 dBm，增益为 20 dB，输出功率即为 +20 dBm（如需，可再转回 100 mW 的线性单位）。
这是一个非常简单的例子，在这种情况下，分贝转换似乎略显多余。但考虑一个通信理论中的典型公式：如第 4 章所述，传播损耗（spreading loss）与频率 \(F\) 的平方以及传播距离 \(d\) 的平方成正比。即传播损耗为：
在分贝形式中，\(F(\mathrm{~dB}) = 10 \log(F)\)，\(F^2\) 转换为 \(20 \log(F)\)，\(d^2\) 转换为 \(20 \log(d)\)。常数 \(K\) 也需转换为分贝形式，但首先要结合单位换算因子，以便我们可以用 MHz 输入频率、km 输入距离，并得到一个实用的结果。通过换算，该常数乘以 10 后约等于 32.44（通常取整为 32），因此传播损耗可简化为：
其中 \(L_{s}\) 为传播损耗（以分贝计），\(F\) 为频率（单位 MHz），\(d\) 为距离（单位 km）。此公式在实际应用中使用非常方便。
必须理解的是，这种类型公式中的常数含有单位转换因子，因此必须用正确的单位输入数值。本书中每次给出分贝公式时，都会在下方标注各项的单位。你可能会记住其中一些常用公式并频繁使用，但请务必记住它们适用的单位。
C.5 分贝值的快速换算¶
下表 C.1 给出了一些常见的分贝值及其对应的线性比值。例如，将一个线性数值乘以 1.25，相当于在分贝形式中加上 1 dB（即 \(1\,\mathrm{mW} \times 1.25\) 相当于 \(0\,\mathrm{dBm} + 1\,\mathrm{dB}\)，所以 \(1.25\,\mathrm{mW} = 1\,\mathrm{dBm}\)）。
此表非常实用，可以帮助你在不使用计算器的情况下快速估算分贝值。使用方法如下：
- 首先将线性值转换至合适的数量级：每乘以 10，分贝值加 10 dB；每除以 10，分贝值减 10 dB。
表 C.1 常见分贝值对照表
| 比值 | 分贝值 | 比值 | 分贝值 |
|---|---|---|---|
| \(1/10\) | -10 | 1.25 | +1 |
| \(1/4\) | -6 | 2 | +3 |
| \(1/2\) | -3 | 4 | +6 |
| 1 | 0 | 10 | +10 |
- 然后根据表中比值组合，快速估算目标数值。
例如，400 可拆分为 \(10 \times 10 \times 4\)，转换为分贝为：
再如 500 近似为 \(1,000 / 2\)，转换为：
请注意不要误解 0 dB 的含义。有一位高级官员曾在会议上出丑，说“当信噪比降到 0 dB 时，信号就完全消失了”。事实上，0 dB 表示两个数值相等，即比值为 1。
表 C.2 各功率水平对应的 dBm 值
| dBm | 信号强度 |
|---|---|
| +90 | 1 MW |
| +80 | 100 kW |
| +70 | 10 kW |
| +60 | 1 kW |
| +50 | 100 W |
| +40 | 10 W |
| +30 | 1 W |
| +20 | 100 mW |
| +10 | 10 mW |
| 0 | 1 mW |
| -10 | \(100\,\mu\mathrm{W}\) |
| -20 | \(10\,\mu\mathrm{W}\) |
| -30 | \(1\,\mu\mathrm{W}\) |
表 C.3 常见分贝单位定义
| 单位 | 定义 |
|---|---|
| dBm | \(=\mathrm{dB}\) 值，即功率与 \(1\,\mathrm{mW}\) 的比值 |
| dBW | \(=\mathrm{dB}\) 值，即功率与 \(1\,\mathrm{W}\) 的比值 |
| dBsm | \(=\mathrm{dB}\) 值，即面积与 \(1\,\mathrm{m^2}\) 的比值 |
| dBi | \(=\mathrm{dB}\) 值，即相对于理想各向同性天线的天线增益 |