第3章杂波与干扰压制下的雷达方程¶

3.1 信干比（SIR）¶

本书采用IEEE的定义 [1]。

定义

杂波（Clutter）：不需要的回波，通常来自地面、海面、降雨或其他降水物、箔条、鸟类、昆虫、流星以及极光。

干扰（Jamming）：一种电子对抗（ECM）形式，通过在雷达接收频段发射干扰信号，以掩盖雷达信号（如噪声干扰）或在雷达信号解读上制造混乱（如转发干扰）。

目标（Target）：广义上指任何将能量散射回雷达的离散物体；狭义上指雷达搜索或跟踪的对象。

定义中列举的典型杂波源主要适用于以人造目标（如飞机、导弹、地面车辆或舰艇）为观测对象的雷达系统。这类目标通常处于会产生杂波的自然环境中。本章将遵循这一定义。而在导航、测绘、气象或地球物理研究中使用的雷达，则以自然环境作为目标，因此会将人造物体视为杂波。这类应用的雷达方程与本章讨论的情况有所不同。

在本书中，信号定义为来自目标的回波，而干扰则是进入接收机的所有不需要输入的总和，包括热噪声、杂波和干扰。为了与第1章对目标信号与热噪声的描述保持一致，干扰用穿过处理器并落在分辨单元（其中可能同时包含目标）的能量 $I_{0}$ 来表征：

\[ \begin{equation*} I_{0}=N_{0}+C_{0}+J_{0}=N_{0}\left(1+\frac{C_{0}}{N_{0}}+\frac{J_{0}}{N_{0}}\right)(\mathrm{W} / \mathrm{Hz}) \tag{3.1} \end{equation*} \]

其中，$N_{0}$ 为热噪声的功率谱密度，$C_{0}$ 为杂波能量，$J_{0}$ 为干扰能量，均指接收天线输出端口处的量。测量干扰的分辨单元定义如下 [1]：

分辨单元

分辨单元：与雷达分辨多个目标能力相关的一维或多维区域。

注：涉及分辨率的维度包括距离、角度和径向速度（多普勒频率）。例如，一个三维空间分辨单元为：

$$ \theta_{a} \times \theta_{e} \times(c \tau / 2) $$

其中，$\theta_{a}=$ 方位波束宽度，$\theta_{e}=$ 俯仰波束宽度，$\tau=$ 脉冲宽度，$c=$ 电磁波传播速度。

对于频谱分布在处理器带宽内的干扰（如热噪声或宽带干扰），其影响通过该带宽内的谱密度描述，此时在(1.8)式及后续雷达方程中用该谱密度替代 $N_{0}$。

杂波以与发射信号相同的射频频谱进入接收机，并带有通常不同于目标的多普勒频移。它在处理输出上的影响，以及对检测门限设置（从而决定检测概率）的影响，与宽带干扰不同。因此，当采用信号处理（如基于多普勒的处理）来抑制杂波时，引入了一个等效输入谱密度 $C_{0 e}$ 来表征抑制后的干扰，其值折算回信号能量测量的输入端：

\[ \begin{equation*} I_{0 e}=N_{0}+C_{0 e}+J_{0 e}=N_{0}\left(1+\frac{C_{0 e}}{N_{0}}+\frac{J_{0 e}}{N_{0}}\right)(\mathrm{W} / \mathrm{Hz}) \tag{3.2} \end{equation*} \]

计算和使用等效干扰谱密度 $I_{0 e}$ 的步骤如下：
1. 计算噪声谱密度 $N_{0}$ 以及能量比 $C_{0 e} / N_{0}$ 和 $J_{0 e} / N_{0}$；
2. 将这些值代入公式 (3.2)；
3. 用所得的 $I_{0 e}$ 替换雷达方程分母中的 $N_{0}$。

推导此类方程需要与第1章在噪声环境中采用的相同步骤：

表达在给定参数下可获得的最大信干比 $E / I_{0 e}$，其为目标距离 $R$ 的函数；
表达满足检测需求所需的最小信干比 $D_{x}$；
将两者结合，解出在给定环境下满足要求的最大目标距离 $R_{m}$。

在目标距离 $R$ 时与目标竞争的干扰，可能与目标信号同时进入雷达且处于相同频率，也可能由于接收机/处理器在时延（距离）或频率上的模糊响应而叠加在信号上。一般情况下，干扰谱密度的方程是目标距离、雷达波形和环境条件的复杂函数。只有在特殊情况下，才能得到检测距离的闭式解；在更一般的情况下，通常采用图解方法或求根算法来获得解。

3.2 杂波对检测距离的影响¶

杂波可能来自地球表面区域（陆地或海洋）、大气体积（降水、箔条、昆虫或极光），或来自地表或空中的离散物体（显著地物、鸟类或流星）。本节讨论适用于各种杂波类型的通用距离计算方法，并在后续小节中分别应用于不同类型的杂波。

3.2.1 距离模糊杂波¶

当目标距离为 $R$ 时，空间分辨单元内距离为 $R_{c}=R$ 的杂波能量是进入接收机并与信号竞争的一种干扰来源。然而，即使是为了避免距离模糊而设计的低脉冲重复频率（PRF）波形，在计算输入杂波能量时，也必须考虑所有位于以下范围的分辨单元：

\[ \begin{equation*} R_{c i}=R+i R_{u} \quad(\mathrm{~m}) \tag{3.3} \end{equation*} \]

其中：

$R_{u}=c t_{r} / 2=c / 2 f_{r}$：无模糊距离；
$i$：模糊索引，$i_{\text {min }} \leq i \leq i_{\text {max }}$；
$i_{\text {min }}$：满足 $R_{c i}>0$ 的最小（或最大负数）整数；
$i_{\text {max }}$：使得 $R_{c i}$ 处单元含有杂波的最大正整数；
$c$：光速；
$t_{r}$：脉冲重复间隔（PRI）；
$f_{r}$：脉冲重复频率（PRF）。

来自第 $i$ 个模糊区域的杂波能量 $C_{i}$ 可通过将公式 (1.25) 中的目标项 $\sigma F_{p}^{2} F_{t}^{2} F_{r}^{2} F_{rdr}^{2} / L_{\alpha}$ 替换为相应的杂波项得到：

\[ \begin{equation*} C_{i}=\frac{P_{av} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \sigma_{c i} F_{pc}^{2} F_{c i}^{4} F_{\mathrm{rdr}c i}^{2}}{(4 \pi)^{3} R_{c i}^{4} L_{t} L_{\alpha c i}} \quad(\mathrm{J}) \tag{3.4} \end{equation*} \]

其中：
- $\sigma_{c i}$：杂波雷达散射截面（见 3.2–3.6 节）；
- $F_{pc}$：杂波极化因子（见 10.1.1 节）；
- $F_{c i}$：杂波方向传播因子（见第8、9章）；
- $F_{rdrci}$：杂波的距离相关响应因子（见 1.6.2 节）；
- $L_{\alpha c i}$：杂波的大气衰减（见 7.2 和 7.3 节）。

所有包含杂波的模糊单元能量之和即为总输入杂波能量 $C_{0}$：

\[ \begin{equation*} C_{0}=\sum_{i} C_{i}=\frac{P_{av} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{pc}^{2}}{(4 \pi)^{3} L_{t}} \sum_{i} \frac{\sigma_{c i} F_{c i}^{4} F_{rdrci}^{2}}{R_{c i}^{4} L_{\alpha c i}} \quad(\mathrm{J}) \tag{3.5} \end{equation*} \]

3.2.2 雷达波形类型¶

根据 [1]，雷达波形分为四类，每类均需进行不同的杂波分析。

低PRF（LPRF）波形：

一种脉冲雷达波形，其脉冲重复频率使得感兴趣目标在距离上无模糊。

当感兴趣目标处于无模糊距离内时，杂波可能来自该范围之外（$i>0$）。来自每个模糊区域的能量，相对目标距离 $R$ 的杂波，要乘以因子 $\left(R / R_{c i}\right)^{4}=R^{4}/\left(R+i R_{u}\right)^{4}$，因此即使 $i>0$ 时也可能对干扰有贡献，尤其是在未通过杂波改进因子降低的情况下。

中PRF（MPRF）波形：

一种脉冲雷达波形，其脉冲重复频率使得感兴趣目标在距离和多普勒频移上均存在模糊。

对于此类波形，既有 $R_{c}<R$（即 $i<0$）的杂波，也有 $R_{c} \geq R$ 的杂波会产生干扰。当 $\left(R+i_{\min } R_{u}\right) \ll R$ 时，来自近距离模糊的杂波贡献远大于 $R_{c}=R$ 的杂波。

高PRF（HPRF）波形：

一种脉冲雷达波形，其脉冲重复频率使得感兴趣目标在距离上存在模糊。

HPRF 的选择旨在避免多普勒模糊，其频率高于 MPRF，因此引入更多的距离模糊，增加输入干扰，尤其是当 $R_{c i} \ll R$ 的杂波贡献显著时。

连续波（CW）波形：

CW 雷达定义为发射连续波信号（可进行相位调制）的雷达。对于未调制的CW波形，其空间分辨单元由天线波束限定，最大范围为 $t_{o} c / 2$，其中 $t_{o}$ 为天线波束的驻留时间。在任意给定环境下，其输入杂波能量大于HPRF波形。若采用独立的发射和接收天线，可减少来自极近距离的杂波。具有周期性相位调制、重复间隔为 $t_{r}$ 的CW波形，会在距离 $R_{u}$ 处产生模糊，其模糊间隔与PRI $=t_{r}$ 的脉冲雷达相同。

3.2.3 杂波可检测因子¶

第1章雷达方程中使用的可检测因子 $D_{x}$ 定义为：信号能量与白色高斯噪声功率谱密度的比值。而杂波与噪声有两个不同点：（1）杂波在脉冲间并非随机，因此其频谱由信号带宽内的离散谱线组成；（2）其幅度分布可能超出瑞利分布（瑞利分布表征了同相和正交高斯噪声分量的和）。因此，必须引入不同的杂波可检测因子 $D_{x c}$。

3.2.3.1 杂波频谱与相关时间¶

不同类型杂波的频谱（见第9章）可由其相对于雷达的平均径向速度以及各谱线的展宽来表征。相比多普勒频率的均值和展宽，速度参数更常被使用，因为它们不依赖于雷达工作频率。

展宽由速度标准差 $\sigma_{v}$ 表征，其来源包括杂波散射体的随机运动、天线波束扫描，以及平均径向速度在天线方向图上的投影。展宽影响可用于积分的独立杂波样本数 $n_{c}$，其表达式为雷达输入端杂波相关时间 $t_{c}$ 与天线波束观测（驻留）时间 $t_{o}$ 的函数 [2, p.117]：

\[ \begin{equation*} n_{c}=1+\frac{t_{o}}{t_{c}}=1+\frac{2 \sqrt{2 \pi} \sigma_{v} t_{o}}{\lambda} \leq n \tag{3.6} \end{equation*} \]

其中，$n$ 为积分的噪声样本数。当杂波出现在多个距离模糊中时，每个距离 $R_{i}$ 都会对应不同的 $\sigma_{v i}$ 和 $t_{c i}$。

3.2.3.2 杂波相关损失¶

在没有多普勒处理时，杂波可检测因子取决于 $n_{c}$，而非目标脉冲积分数 $n$。所需能量比的增加由杂波相关损失 $L_{cc}$ 描述：

\[ \begin{equation*} L_{cc}=\frac{D_{0}\left(n_{c}\right)}{D_{0}(n)} \geq 1 \tag{3.7} \end{equation*} \]

需要注意，这种损失并不会减弱杂波效应，而是反映了相对于白色高斯噪声，目标检测所需的信杂比增加。

基于多普勒的信号处理可增加公式 (3.6) 中的独立样本数，该数取决于处理器输出的杂波频谱，从而相对于输入杂波减小 $L_{cc}$。第9章将介绍在使用多普勒处理的系统中计算 $n_{c}$ 和 $L_{cc}$ 的方法。对每个模糊区域，损失 $L_{cc i}$ 将作为因子作用于有效谱密度。

3.2.3.3 杂波分布损失¶

导致杂波可检测因子增加的第二个原因是部分杂波更宽的幅度分布。噪声情况下计算的可检测因子是基于这样一个检测门限：其足够高，以在指数分布的噪声功率下（经过积分调整）满足指定的虚警概率。体积杂波的概率密度函数（pdf）近似为指数分布，而表面杂波在高掠射角时也近似为指数分布。但随着掠射角降低，pdf 展宽，可建模为具有扩展参数 $a_{w} \geq 1$ 的韦布尔分布。其范围从 $a_{w}=1$（指数分布）到 $a_{w}\rightarrow 5$（极端情况）。

这一因素通过杂波分布损失 $L_{cd}$ 增加杂波可检测因子 $D_{x c}$。该损失适用于双参数恒虚警率（CFAR）处理器，此类处理器通过估计输入杂波的均值和展宽来控制检测门限。其定义为：在实际杂波分布下，为获得指定虚警概率 $P_{fa}$ 所需门限 $y_{b}$ 与在指数分布下所需门限的比值（见 4.2.2 节）。对于韦布尔分布的杂波：

\[ \begin{equation*} L_{cd}=\frac{y_{b}\left(P_{fa}, a_{w}\right)}{y_{b}\left(P_{fa}, 1\right)}=\frac{P_{w}^{-1}\left(1-P_{fa}, a_{w}\right)}{P_{\gamma}^{-1}\left(1-P_{fa}\right)} \tag{3.8} \end{equation*} \]

其中，$P_{w}^{-1}\left(p, a_{w}\right)$ 为韦布尔分布积分的反函数，$P_{\gamma}^{-1}(p)$ 为不完全伽马函数的反函数。pdf 的宽度会随距离模糊变化，因此每个距离 $R_{i}$ 都需使用相应的 $L_{cd i}$ 来修正有效谱密度。

当 $a_{w} \gg 1$ 的韦布尔杂波输入双参数CFAR处理器时，会导致较大损失。为此，许多雷达在CFAR处理的基础上辅以杂波图（clutter map），用于抑制在多个扫描中稳定出现的分辨单元内的杂波峰值（以及目标）。由于这些峰值在强杂波区内也相对稀疏，因此目标抑制造成的检测概率平均损失相对较小。这类峰值可视为离散杂波，其效应将在3.5节描述，而不是通过公式 (3.8) 的杂波分布损失来表征。

3.2.3.4 杂波可检测因子¶

杂波可检测因子 $D_{xc}$ 定义为 [1]：

在自动检测电路中，为满足给定虚警概率所需的检测概率时，检测前的信杂比。注：在MTI系统中，它指抵消或多普勒滤波后的信杂比。

由 3.2.3.2 节的 $L_{cc}$ 和 3.2.3.3 节的 $L_{cd}$ 给出修正，将可检测因子 $D_{x}$ 修正为杂波情况：

\[ \begin{equation*} D_{xc}=D_{x} L_{cc} L_{cd} \tag{3.9} \end{equation*} \]

3.2.4 杂波的有效谱密度¶

为了在公式 (3.2) 中形成有效输入谱密度 $I_{0 e}$，需要将输入杂波分量 $C_{0 i}$ 调整为与统一的可检测因子 $D_{x}$ 相适应。对模糊区域 $i$ 的杂波所需调整为：

\[ \begin{equation*} C_{0 e i}=C_{i} \frac{D_{x c i}}{D_{x} I_{m i}}=C_{i} \frac{L_{cc i} L_{cd i}}{I_{m i}} \quad(\mathrm{~W} / \mathrm{Hz}) \tag{3.10} \end{equation*} \]

其中，$I_{m}$ 为 MTI 改进因子，定义为 [1]：

在杂波滤波器输出端的信杂功率比与输入端的信杂功率比之比，且对所有感兴趣的目标速度均匀取平均。
同义词：杂波改进因子。

该定义中的同义词不仅适用于MTI雷达，也适用于CW与脉冲多普勒雷达，这里统一使用“杂波改进因子”称呼。不同处理方法的改进因子将在第9.6节讨论。它在各个模糊区域之间可能不同，但可使用一个平均值 $\overline{I_{m}}$ 来表达杂波的有效输出谱密度：

\[ \begin{equation*} C_{0 e}=\sum_{i} \frac{C_{i} L_{cc i} L_{cd i}}{I_{m i}}=\frac{C_{0} \overline{L_{cc} L_{cd}}}{\overline{I_{m}}} \tag{3.11} \end{equation*} \]

其中 $C_{i}$ 由公式 (3.4) 给出。带上横线的项表示对杂波区域的加权平均。

在进行求和之前，先对杂波的有效谱密度进行杂波损失修正，并像公式 (3.11) 那样对改进因子取平均。这样，$C_{0 e}$ 就可以直接加到公式 (3.2) 的 $N_{0}$ 中，随后用统一的 $D_{x}$ 代入雷达方程中计算检测距离。

3.2.5 在杂波条件下的检测距离¶

由公式 (3.11) 给出的有效杂波能量与噪声谱密度 $N_{0}$ 相加，得到在杂波与噪声环境下的有效干扰能量 $I_{0 e}$。由此可得在杂波条件下的检测距离 $R_{mc}$：

\[ \begin{equation*} R_{mc}=\left[\frac{P_{av} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \sigma F_{p}^{2} F_{t}^{2} F_{r}^{2} F_{rdr}^{2}}{(4 \pi)^{3} I_{0 e} D_{x}\left(n^{\prime}\right) L_{t} L_{\alpha}}\right]^{1 / 4} \quad(\mathrm{~m}) \tag{3.12} \end{equation*} \]

其中，$n^{\prime}=t_{o} / t_{f}$ 表示在观测时间 $t_{o}$ 内进行非相干积分的区间数 $t_{f}$。由于该式右边的许多项与距离相关，$R_{mc}$ 一般需通过图解法或求根法求得。仅在少数特殊情况下（表面杂波与体积杂波），可将该式写成闭式解（见 3.3.5 和 3.4.6 节）。

图解法：分别绘制来自公式 (1.25) 的信号能量 $E$ 与所需能量 $I_{0 e} D_{x}(n^{\prime})=\left(N_{0}+C_{0 e}\right) D_{x}(n^{\prime})$ 随目标距离 $R$ 的函数曲线。若 $E \geq I_{0 e} D_{x}(n^{\prime})$，则满足检测条件，其中最长的距离即为 $R_{mc}$。

求根法：将 $E$ 和 $I_{0 e} D_{x}(n^{\prime})$ 表达为 $R$ 的函数，并通过计算机程序求解使两式相等时的最大 $R$：

\[ \begin{equation*} R_{mc}=\operatorname{root}_{R}\left[E(R)=I_{0 e}(R) D_{x}\left(n^{\prime}\right)\right] \tag{3.13} \end{equation*} \]

其中，$\operatorname{root}_{x}[\cdot]$ 表示使括号内等式成立时的 $x$ 值。

3.3 表面杂波中的检测¶

表面杂波是由雷达波束照射到陆地或海面产生的后向散射。下面给出两种表面杂波的几何模型：一种是简单的平地模型，另一种是将在第8章进一步展开的球形地球模型。

3.3.1 来自平坦表面的杂波¶

图3.1 给出了雷达天线主瓣在高于平坦地表高度为 $h_{r}$ 时观测到的表面杂波几何关系。
图3.1 表面杂波几何。

杂波单元位于由俯仰波束宽度 $\theta_{e}$ 和方位波束宽度 $\theta_{a}$ 确定的椭圆形波束落区内；为计及离轴散射体的双程天线增益降低，每一方向上均以波束形状损失 $L_{p}$ 进行修正。${ }^{1}$ 旁瓣杂波通常要小得多，可忽略不计，但将在3.6节讨论。

该杂波单元在方位方向的宽度由距离 $R_{c}$ 与方位波束宽度 $\theta_{a}$ 决定；其“深度”（距离维）通常由距离分辨力 $\Delta_{r}$ 决定：${ }^{2}$

\[ \begin{equation*} \Delta_{r}=\frac{\tau_{n} c}{2} \quad(\mathrm{~m}) \tag{3.14} \end{equation*} \]

${ }^{1}$ 用于杂波方程的波束形状损失取 $L_{p}=1.33$，该值是对双程方向图 (5.1) 进行积分、在密集采样条件下得到的，并记作 $L_{p0}$（见5.2.3节）。此处附加下标 ${ }_{0}$ 用于区分该“密集采样”值与适用于一般情况下（可能包含稀疏采样、详见第5章）的目标 $L_{p}$。为简洁起见，本章公式中省略下标 ${ }_{0}$。
${ }^{2}$ CW 雷达的分辨单元深度见 3.3.6 节。

其中，$\tau_{n}$ 为处理后的等效脉冲宽度，$c$ 为光速。正如 Blake 所述 [3, p. 297]，$\tau_{n}$ 是处理后的等效脉宽，并非传统使用的 $3\,\mathrm{dB}$ 脉宽 $\tau_{3}$，而是类似于网络噪声带宽的定义 [4, p. 342]：

\[ \begin{equation*} \tau_{n} \equiv \frac{1}{a_{m}^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}\left|a(t)^{2}\right| d t \quad(\mathrm{s}) \tag{3.15} \end{equation*} \]

其中 $a(t)$ 为处理器输出端的脉冲波形电压，$a_{m}$ 为其峰值。$\tau_{n} / \tau_{3}$ 的比值从矩形输出脉冲的 1 变化到匹配滤波输出（矩形脉冲及多数脉冲压缩波形）的约 $1.06=0.24 \,\mathrm{dB}$。

投影到地表后，波束落区在距离方向的长度将按掠射角 $\psi$ 的余割增大：

\[ \begin{equation*} \psi=\sin ^{-1}\left(\frac{h_{r}}{R_{c}}-\frac{R_{c}}{2 k_{e} a_{e}}\right) \approx \frac{h_{r}}{R_{c}}(\mathrm{rad}) \tag{3.16} \end{equation*} \]

其中 $R_{c}$ 为与目标回波竞争的杂波距离，$k_{e} a_{e}$ 为有效地球半径；近似式假设平地模型足够（$R_{c}^{2} / 2 k_{e} a_{e} \ll h_{r}$）。

通常，波束落区会超出距离分辨单元；但当 $\psi$ 增大时，尤其对窄带波形，距离分辨单元可能反而超出波束落区。由此，对分辨单元内包含的表面积有两种不同的表达式。

3.3.1.1 受脉宽限制的单元¶

当满足

\[ \begin{equation*} \Delta_{r i}=\frac{\tau_{n} c}{2} \leq \frac{R_{c i} \theta_{e}}{L_{p}} \cot \psi \quad(\mathrm{m}) \tag{3.17} \end{equation*} \]

时，单元深度由脉宽限制。此时对表面杂波起作用的面积为：${ }^{3}$

\[ \begin{equation*} A_{c i}=\frac{R_{c i} \theta_{a}}{L_{p}} \frac{\tau_{n} c}{2} \sec \psi \quad\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \tag{3.18} \end{equation*} \]

${ }^{3}$ 式 (3.18) 假设波束宽度足够小，可使用小角度近似。否则应以 $2 \tan \left(\theta_{a} / 2\right)$ 替代 $\theta_{a}$；当 $\theta_{a}<10^{\circ}$ 时，该近似误差 $<0.01 \,\mathrm{dB}$。

在早期杂波研究中已经认识到需要用因子 $L_{p}$（现称为波束形状损失）修正 (3.18) 中的半功率波束宽度 [5, p. 483, Eq. (93)]。但随后工作的使用并不一致，或许是因为与杂波建模的其他不确定性相比，省略该因子带来的误差被认为不重要。Blake 的简化公式 [3, p. 26, Eq. (1.43)] 省略了该因子，而其更详细的杂波论述 [3, p. 296, Eq. (7.7)] 给出了一个通过对方向图积分得到的表达式。${ }^{4}$ 还有文献使用所谓的“两程半功率波束宽度”，定义为 $\theta_{a} / \sqrt{2}$，这比正确值小 $0.26\,\mathrm{dB}$。

${ }^{4}$ 该式存在印刷错误：将单程电压方向图 $f(\theta, \phi)$ 用在了应为双程功率方向图 $f(\theta, \phi)^{4}$ 的位置。

3.3.1.2 波束宽度受限单元¶

当不满足式 (3.17) 给出的条件时，表面杂波面积为

\[ \begin{equation*} A_{c i}=\frac{R_{c i} \theta_{a}}{L_{p}} \frac{R_{c i} \theta_{e}}{L_{p}} \csc \psi=\frac{R_{c i}^{2} \theta_{a} \theta_{e}}{L_{p}^{2}} \csc \psi\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \tag{3.19} \end{equation*} \]

对于这种波束宽度受限情况，因子 $1 / L_{p}^{2}$ 与天气雷达方程 [6, p. 590, 式 (5)] 中的积分一致，也与前面引用的 Blake 的详细讨论一致。Blake [3, p. 296, (7.4)] 和其他文献中出现的因子 $\pi / 4=-1.05 \mathrm{~dB}$ 对于实际天线方向图来说是不准确的，正确的因子应为 $1 / L_{p}^{2}=-2.48 \mathrm{~dB}$。

3.3.1.3 发射与接收波束宽度不相等¶

在发射与接收波束方向图相同的情况下，用于计算杂波面积的方位波束宽度为单程半功率波束宽度 $\theta_{a}$。当两者不相同时，可以替换为一个等效波束宽度，其计算公式为

\[ \begin{equation*} \theta_{a \text { eff }}=\frac{\sqrt{2} \theta_{a t} \theta_{a r}}{\sqrt{\theta_{a t}^{2}+\theta_{a r}^{2}}} \tag{3.20} \end{equation*} \]

可以看出，当 $\theta_{a t}=\theta_{a r}$ 时，$\theta_{\text {aeff }}=\theta_{a t}=\theta_{a r}$；当 $\theta_{a 1} \gg \theta_{a 2}$ 时，$\theta_{\text {aeff}} \rightarrow \sqrt{2} \theta_{a 2}$。在后一种情况下，杂波单元的角宽度为 $\sqrt{2} \theta_{a 2} / L_{p}=1.06 \theta_{a 2}$。这些关系同样适用于式 (3.19) 中的俯仰波束宽度，以及第 3.4.1 节推导体积杂波表达式时的情况。

3.3.1.4 距离模糊的影响¶

如第 3.2 节所述，杂波能量不仅来自目标距离 $R$ 处的分辨单元，还来自 $R$ 内部和之后按 $R_{u}$ 间隔出现的距离模糊。来自第 $i$ 个模糊的杂波距离 $R_{c i}$ 将被代入式 (3.18) 和 (3.19)，以求得每个模糊杂波区域的面积 $A_{c i}$，再代入式 (3.5) 以得到总的杂波能量。在 MPRF 和 HPRF 的波束宽度受限情况下，可能还会出现多个模糊。

3.3.2 球面地球上的表面杂波¶

在距离 $R$ 处，球面地球表面相对于雷达站点的切平面低于

\[ \begin{equation*} \delta_{h}=k_{e} a_{e} \sqrt{1+\left(\frac{R \cos \theta}{k_{e} a_{e}}\right)^{2}-1} \approx \frac{R^{2}}{2 k_{e} a_{e}} (\mathrm{m}) \tag{3.21} \end{equation*} \]

其中，$\theta$ 为俯仰角，$k_{e} \approx 4 / 3$ 是考虑大气折射的地球有效半径系数，$a_{e}=6.38 \times 10^{6} \mathrm{~m}$ 为实际半径。当 $\delta_{h}<\sigma_{h}$（$\sigma_{h}$ 为局部粗糙表面的高度偏差）时，平地模型近似通常是足够的：

\[ \begin{equation*} R \leq \sqrt{2 k_{e} a_{e} \sigma_{h}}=4,124 \sqrt{\sigma_{h}}(\mathrm{~m}) \tag{3.22} \end{equation*} \]

对于中等海况和较平坦的陆地（$\sigma_{h}<1 \mathrm{~m}$），在 $R>4 \mathrm{~km}$ 的情况下，将使用第 8 章中给出的球面地球掠射角表达式，替代式 (3.16)，并应用于式 (3.4) 和 (3.5) 中的方向图传播因子。

3.3.3 表面杂波雷达截面¶

在与目标竞争的量程 $R_{c}$ 上，每个表面杂波区域的雷达截面 $\sigma_{c i}$ 为

\[ \begin{equation*} \sigma_{c i}=\sigma_{i}^{0} A_{c i}\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \tag{3.23} \end{equation*} \]

其中 $\sigma^{0}$ 为表面杂波反射率，在文献 [1] 中定义为“杂波的后向散射系数”，进一步定义为：

一种对分布式散射体的雷达回波的归一化度量。对于区域目标（例如地面或海面杂波），它被定义为单位表面积上的平均单基地雷达截面。

上标 ${ }^{0}$ 起源于 MIT 辐射实验室 [5, p. 483]，可能是为了表明 $\sigma^{0}$ 是一个无量纲量，表示单位面积 $A_{c}$ 的雷达截面（单位 $\mathrm{m}^{2}$ 每 $\mathrm{m}^{2}$）。

在部分文献中，$\sigma^{0}$ 被定义或假设为包含方向图-传播因子 $F_{c}$。本书采用将反射率 $\sigma^{0}$ 与方向图-传播因子 $F_{c}$ 分开的方法，以区分表面区域 $A_{c i}$ 的属性（包含在 $\sigma^{0}$ 中）与雷达到表面传播路径的属性（包含在 $F_{c}$ 中）。若将后者折叠进 $\sigma^{0}$，则会掩盖影响杂波回波的掠射角和雷达频率的物理原理。即使是相同的雷达在相同的掠射角下观测同一杂波单元，由于地形轮廓不同而接收到的回波功率会不同，这种差异不能合理地归因于该杂波单元的 $\sigma^{0}$。

关于不同表面的 $\sigma^{0}$ 与 $F_{c}$ 的数据在第 9 章中给出，并讨论了表面杂波的常数- $\gamma$ 模型 [2, p. 108]：

\[ \begin{equation*} \sigma^{0}=\gamma \sin \psi \tag{3.24} \end{equation*} \]

在该模型中（本书将在此使用，该模型与实测数据高度一致），反射因子 $\gamma$ 用于描述在给定波长下表面的特性。不同观测几何条件下的回波功率变化体现在掠射角 $\psi$ 和杂波方向图-传播因子 $F_{c}$ 中。

对于近区杂波${ }^{5}$，因子 $F_{c} \approx 1$，近区的定义是掠射角超过下列临界值时：

\[ \begin{equation*} \psi_{c}=\sin ^{-1} \frac{\lambda}{4 \pi \sigma_{h}} \approx \frac{\lambda}{4 \pi \sigma_{h}}(\mathrm{rad}) \tag{3.25} \end{equation*} \]

${ }^{5}$ 杂波的近区不应与天线的近场混淆。天线近场是远场之外的区域（定义见 3.4.6 节）。不同的杂波建模区域在 9.1.2 节进一步讨论。

其中 $\lambda$ 为雷达波长，$\sigma_{h}$ 为相对于平均表面的杂波高度标准差。当 $\psi<\psi_{c}$ 时，因子 $F_{c}$ 与量程成反比，其过渡点出现在量程 $R_{1}$：

\[ \begin{equation*} R_{1}=\frac{h_{r}}{\sin \psi_{c}} \approx \frac{4 \pi \sigma_{h} h_{r}}{\lambda} \quad(\mathrm{m}) \tag{3.26} \end{equation*} \]

其中 $h_{r}$ 为天线相位中心高于平均杂波面的高度。对于舰载或机载雷达，$h_{r}$ 分别为舰体上层建筑高度或飞机飞行高度；对于地基雷达，$h_{r}$ 是天线高于地面的高度与该地面高于波束观测的平均杂波面的高度之和。通常，地基雷达站点会选在高地上，可近似为比平均表面高 $2 \sigma_{h}$。在地球曲率允许使用平地模型的范围 $R_{1}$ 内，式 (3.26) 的近似是足够的。

在以下关于表面杂波的讨论中，将给出示例，说明地基雷达所面临的杂波问题。所用脉冲雷达和连续波雷达的参数，以及表面环境特性，见表 3.1。

表 3.1 示例雷达与表面杂波环境

平均功率 $P_{a v}$	100 W	相干处理时间 $t_{f}$	0.01s
波长 $\lambda$	0.03m	发射机线损 $L_{t}$	0 dB
天线增益 $G$	42.7 dB	波束宽度常数 $K_{\theta}$	1.2
孔径宽度、高度 $w, h$	1.5m	天线波束宽度 $\theta_{a}, \theta_{\text {e }}$	$1.4^{\circ}$
相位中心高度 $h_{r}$	12m	方向图常数 $L_{n}$	1.17
方向图传播因子 $F$	1.0	距离相关因子 $F_{\text {rdr }}^{2}=F_{\text {lens }}^{2}$	0.984
系统噪声温度	$1,000 \mathrm{~K}$	积分样本数 $n^{\prime}$	1.0
可检测性因子 $D_{x}(1)$	100	目标 RCS $\sigma$	$1.0 \mathrm{~m}^{2}$
衰减 $L_{\alpha}$ （在 $R_{m}$）	1.76 dB	热噪声作用下探测距离 $R_{m}$	93.2 km
杂波反射率 $\gamma$	0.063	杂波极化因子 $F_{c p}^{2}$	1.0
表面粗糙度 $\sigma_{h}$	1.0m

3.3.4 表面杂波的输入能量¶

3.3.4.1 脉冲雷达中的表面杂波输入能量¶

对于脉冲雷达，从每个模糊区域 $A_{c i}$ 接收到的表面杂波能量可由 (3.4) 式计算，其中 $\sigma_{c i}$ 由 (3.23) 给出。将这些贡献如 (3.5) 式那样求和即可得到总输入杂波能量：

\[ \begin{align*} C_{0} & =\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2} \theta_{a}\left(\tau_{n} c / 2\right) \gamma}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}} \sum_{i} \frac{F_{c i}^{4} F_{r d r c i}^{2} \sin \psi_{i}}{R_{c i}^{3} L_{\alpha c i}} \quad (\mathrm{J}) \\ & \approx \frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2} \theta_{a}\left(\tau_{n} c / 2\right) \gamma}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}} \sum_{i} \frac{F_{c i}^{4} F_{r d r c i}^{2}}{R_{c i}^{3} L_{\alpha c i}}\left(\frac{h_{r}}{R_{c i}}-\frac{R_{c i}}{2 k_{e} a_{e}}\right) \quad (\mathrm{J}) \tag{3.27} \end{align*} \]

在将该表达式应用于计算探测距离 $R_{m c}$ 时，问题在于杂波方向图-传播因子 $F_{c i}$ 和掠射角 $\psi_{i}$ 与量程的相关性，使得无法写出封闭形式的 $R_{m c}$ 表达式，即使目标的方向图-传播因子是常数。

例如，图 3.2 给出了一个 LPRF 雷达（脉冲宽度 $\tau_{n}=1 \mu \mathrm{~s}$）的信号与杂波能量水平曲线。该雷达在 $R_{m}=93.2 \mathrm{~km}$ 处可在噪声中完成探测，但当目标沿波束轴线接近零仰角飞行时，计算中未考虑反射旁瓣和可能的衍射损耗。当目标进入杂波地平线（约 15 km）时，杂波增强，使得信干比下降到所需 $D_{x}=20 \mathrm{~dB}$ 以下。在 1 km 内，杂波下降到俯仰波束以下，从而恢复了所需的探测裕度。然而，探测受损的量程区间无法通过简单公式获得，必须通过读图或使用求根算法确定。为避免性能受损所需的改进因子为 $I_{m} \approx 18 \mathrm{~dB}$（在 $R=5 \mathrm{~km}$ 由图形得出）。

图 3.2 示例雷达采用 LPRF 波形的输入能量水平：波束轴上的目标信号 $E$（粗实线）、干扰 $I_{0 e}$（虚线）、高于干扰 20 dB 的检测门限（点划线）、以及噪声（轻实线，$N_{0}=-198.6 \mathrm{dBJ}$）。

3.3.4.2 连续波雷达中的表面杂波输入能量¶

尽管未调制连续波（CW）雷达的应用不如过去广泛，本节推导的方程仍可作为高脉冲重复频率（HPRF）脉冲多普勒雷达中简化杂波计算的起点。在 HPRF 雷达和相位调制的 CW 雷达中，表面杂波可通过第 3.3.4.1 节给出的脉冲雷达公式来描述，其中 $\tau_{n}$ 表示由调制波形决定的距离分辨单元宽度。当多个这样的模糊区包含杂波时，本节推导的公式，经第 3.3.4.3 节修正后，可以提供一种更为便利的替代方法。

在未调制的 CW 雷达中，表面杂波由波束宽度限制，符合 (3.19)。在低掠射角下，反射率、天线方向图传播因子以及改善因子随波束覆盖区域内的距离变化，表现出与脉冲雷达不同距离模糊区类似的特性。Blake [3, pp. 298-300] 指出，杂波能量密度随距离变化的表达式取代了 (3.5) 中的 $C_{i}$ ：

\[ \begin{equation*} d C=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2}}{(4 \pi)^{3} L_{t}}\left[\frac{F_{c}^{4}}{R_{c}^{4}}\right] d \sigma_{c} \quad(\mathrm{J}) \tag{3.28} \end{equation*} \]

其中 $d \sigma_{c}$ 是每米距离上的雷达散射截面（RCS）密度（单位 $\mathrm{m}^{2}$），其随 $R_{c}$ 变化，同时括号中的 $F_{c}^{4}$ 也依赖于 $R_{c}$。在 CW 雷达情形中，距离相关响应因子 $F_{r d r}$ 和衰减 $L_{\alpha c}$ 取为 1 并从 (3.28) 中省略，因为无法使用 STC，发射信号不会遮蔽回波，且近距离杂波占主导。由 (3.19) 并取 $\csc \psi \approx 1$ 可得杂波 RCS 密度：

\[ d \sigma_{c}=\frac{R_{c} \theta_{a} \gamma \sin \psi}{L_{p}} d R_{c} \quad\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \tag{3.29} \]

\[ d C=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2} \theta_{a} \gamma}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}}\left[\frac{F_{c}^{4} \sin \psi}{R_{c}^{3}}\right] d R_{c} \quad(\mathrm{J})\tag{3.30} \]

图 3.3 展示了某典型 CW 雷达中 $dC$ 随距离的变化情况，该雷达参数为：$P_{a v}=100 \mathrm{~W}, t_{f}=0.01 \mathrm{~s}$，波束宽度 $\theta_{a}=\theta_{e}=1.7^{\circ}$，天线高度 $h_{r}=12 \mathrm{~m}$，地表条件为 $\sigma_{h}=1 \mathrm{~m}$ 且 $\gamma=-12 \mathrm{~dB}$。实线对应于水平波束。图中虚线所示的竖线分别表示近区上限 $R_{1}$，以及 $R_{a}$，即水平波束在地表处的双向天线增益下降到 $1/e$ 时的距离：

\[ \begin{equation*} R_{a}=\sqrt{8 \ln 2} \frac{h_{r}}{\theta_{e}} \tag{3.31} \end{equation*} \]

在本例中，$R_{a}=1,177 \mathrm{~m}$。杂波输入的主要贡献来自 $0.5<R_{c} / R_{a}<2$ 的区域，而 $R_{c} / R_{1}>1$ 的贡献可以忽略。

图 3.3 示例 CW 雷达在恒定- $\gamma$ 杂波模型下的表面杂波输入能量水平：水平波束（实线）和仰角 $\theta_{e}/3$ 的波束（虚线）。

对于低架设雷达，当 $R_{c}<R_{1}$ 的大部分近区满足平面地球近似时，杂波方向图传播因子为：

\[ \begin{equation*} F_{c}^{4}=f_{c}^{4}=\exp \left[-\left(\frac{R_{a}}{R_{c}}+\frac{R_{a} \theta_{b}}{h_{r}}\right)^{2}\right] \tag{3.32} \end{equation*} \]

其中 $\theta_{b}$ 为波束轴的仰角。此时 (3.27) 中杂波输入能量 $C_{0}$ 的求和式改为积分形式：

\[ \begin{equation*} C_{0}=\int_{h_{r}}^{R_{1}} d C=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2} \theta_{a} \gamma h_{r}}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}} \int_{h_{r}}^{R_{1}} \frac{f_{c}^{4}}{R_{c}^{4}} d R_{c} \quad(\mathrm{J}) \tag{3.33} \end{equation*} \]

积分中仅与 $R_{c}$ 有关的部分位于被积函数中。由于 $R_{c}\to 0$ 时 $f_{c}$ 急剧减小，结果对积分下限不敏感，但为方便起见，此处取天线安装高度 $h_{r}$ 作为下限。

当 $\theta_{b}=0$（水平波束）时，(3.33) 中的积分化简为 $\sqrt{\pi} / 4 R_{a}^{3}$，得：

\[ \begin{equation*} C_{0}=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p}^{2} \theta_{a} \theta_{e}^{3} \gamma}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p} h_{r}^{2}} \frac{\sqrt{2 \pi}}{128 \sqrt{(\ln 2)^{3}}}=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p}^{2} \theta_{a} \theta_{e}^{3} \gamma}{77,950 L_{t} h_{r}^{2}} \tag{3.34} \end{equation*} \]

进一步简化时，若收发增益相等，则：

\[ \begin{equation*} G=\frac{4 \pi}{\theta_{a} \theta_{e} L_{n}} \approx \frac{10.75}{\theta_{a} \theta_{e}} \tag{3.35} \end{equation*} \]

其中 $L_{n} \approx 1.17$ 为第 2.6.1 节给出的方向图常数。最终可得到 CW 雷达杂波能量的简洁公式：

\[ \begin{equation*} C_{0}=\frac{P_{a v} t_{f} \lambda^{2} \theta_{e} \gamma}{256 L_{p} L_{n}^{2} \sqrt{2 \pi(\ln 2)^{3}} h_{r}^{2} \theta_{a}}=\frac{P_{a v} t_{f} \lambda^{2} \theta_{e} \gamma}{675 h_{r}^{2} \theta_{a}} \tag{3.36} \end{equation*} \]

例如，表 3.1 的参数下，$C_{0}=5.8 \times 10^{-10} \mathrm{~J}$，相当于在噪声温度 $T_{s}=1,000 \mathrm{~K}$ 时高出噪声电平 106.3 dB。这类极高的杂波-噪声比说明了地基 CW 雷达在防空应用中的设计挑战。(3.36) 式表明，当波束指向地平线时，减少杂波输入的唯一途径是：增大天线高度 $h_{r}$，降低仰角与方位波束宽度之比，或减少发射能量（但也会降低信号能量）。

通过抬高波束轴角度可降低杂波输入。对于任意波束轴仰角 $\theta_{b}$，(3.33) 中的积分化简为：

\[ \begin{equation*} \frac{1}{2 R_{a}}\left\{\left(\frac{\sqrt{\pi} \theta_{b}^{2}}{h_{r}^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{2 R_{a}^{2}}\right)\left[1-\operatorname{erf}\left(\frac{R_{a} \theta_{b}}{h_{r}}\right)\right]-\frac{\theta_{b}}{R_{a} h_{r}} \exp \left(-\frac{R_{a}^{2} \theta_{b}^{2}}{h_{r}^{2}}\right)\right\} \tag{3.37} \end{equation*} \]

其中 $\operatorname{erf}(\cdot)$ 为误差函数。结果表明，当 $\theta_{b}=\theta_{e} / 3$ 时（见图 3.3 中虚线），积分后的杂波能量降低了 9.3 dB。将 (3.36) 式用于抬高波束的情形，可引入一个波束仰角因子 $F_{b}^{4}$，如图 3.4 所示，同时绘出了高斯波束（实线）和余弦加权口径波束（虚线）的情况。图中还给出了地平线目标的因子 $F^{4}$。由于高斯波束主瓣衰减较慢，在小仰角时杂波略大，而更真实的余弦加权口径会产生旁瓣，使得在超过一个波束宽度的仰角时因子受其控制。信杂比的改善等于目标因子与杂波因子的差值（例如，当 $\theta_{b}=0.33 \theta_{e}$ 时为 6.6 dB）。

图 3.4 中余弦加权波束的波束仰角因子通过数值积分计算。结果表明，对于小于一个波束宽度的抬升角度，高斯波束推导的杂波能量公式已足够精确。

图 3.4 表面杂波的波束仰角因子 $F_{b}^{4}$（粗线）和地平线目标的 $F^{4}$（细线），分别对应高斯波束（实线）与余弦加权口径波束（虚线）。

3.3.4.3 脉冲多普勒雷达中的输入地表杂波能量¶

在脉冲多普勒雷达中，与脉冲宽度 $\tau$ 匹配并以发射脉冲到达的距离 $R_{c}$ 为中心的距离门，通过积分在模糊距离 $\left(R_{c}+i R_{u}\right) \pm \tau c / 4$ 上的杂波密度来传递杂波能量。图3.5显示了在 $t_{r}=10 \mu \mathrm{~s}$ 的相邻脉冲之间，每个 $1 \mu \mathrm{s}$ 距离门内的九个门的杂波能量，包括前四个距离模糊回波，并使用图3.3所示的杂波密度。矩形距离门在其中心的 $\pm 75 \mathrm{~m}$ 范围内采样，传递的杂波能量为

\[ C_{0}(\mathrm{dBJ})=\text { 密度 } \mathrm{dB}(\mathrm{~J} / \mathrm{m})+10 \log (150 \mathrm{~m})=\text { 密度 } \mathrm{dB}(\mathrm{~J} / \mathrm{m})+21.8 \mathrm{~dB}(\mathrm{~m}) \]

在每个模糊距离处。九个距离门中的杂波能量变化范围为 6 dB（第十个可能的距离门完全被发射脉冲遮蔽）。所有距离门的平均值比连续波雷达低 10 dB，与占空比 $D_{u}=\tau / t_{r}=0.1$ 的预期一致。对于距离门1和2，波束在第二个距离模糊回波之前不会到达地表，因此其杂波能量比距离门3–9要低。

图3.5 在 $D_{u}=10 \%$、水平波束条件下，HPRF 脉冲多普勒雷达的地表杂波输入能量水平，与图3.3所示的连续波雷达条件相同。

3.3.5 基于地表的连续波与HPRF雷达的探测距离¶

3.3.5.1 连续波雷达探测距离¶

对于非调制的连续波雷达，杂波能量与目标距离无关，并且在水平波束下，处理器输出处的信杂比为

\[ \begin{equation*} \frac{E}{C_{0 e}}=\frac{39.2 h_{r}^{2} \sigma F^{4} \overline{I_{m}}}{R^{4} \gamma \theta_{a} \theta_{e}^{3} L_{\alpha}} \tag{3.38} \end{equation*} \]

其中，$\overline{I_{m}}$ 是在杂波出现的距离上加权平均的改进因子，依据 (3.11) 计算。假设多普勒滤波器中的杂波残余与噪声具有相同的统计特性。

这些表达式导出了两个特殊情况下最大探测距离的简化公式：

\[ \begin{align*} & R_{m c}=\left(\frac{39.2 h_{r}^{2} \sigma F^{4} F_{r d r}^{2} \overline{I_{m}}}{\gamma \theta_{a} \theta_{e}^{3} D_{x} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}\right)^{1 / 4}(\mathrm{~m}), \quad \text{当 } \frac{C_{0 e}}{N_{0}} \gg 1, \theta_{b}=0 \tag{3.39}\\ & R_{m c}=\left[\frac{19.6 h_{r}^{2} \sigma F^{4} F_{r d r}^{2} \overline{I_{m \mathrm{req}}}}{\gamma \theta_{a} \theta_{e}^{3} D_{x} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}\right]^{1 / 4} \approx \frac{R_{m}}{\sqrt[4]{2}}(\mathrm{~m}), \quad \text{当 } \frac{C_{0 e}}{N_{0}}=1 \tag{3.40} \end{align*} \]

其中 $R_{m}$ 由 (1.26) 给出，该近似忽略了在 $R_{m c}$ ${ }^{6}$处减小的 $L_{\alpha}$。括号内的 $L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)$ 值可基于热噪声条件下的距离来近似，或者通过使用 Blake 图表中的两步迭代过程得到。

${ }^{6}$ 这些以及后续的杂波环境下的探测距离公式 $R_{m c}$，需要应用类似于 Blake 图表中的迭代过程，来求解衰减 $L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)$ 和透镜因子 $F_{\text {lens}}$。如果使用热噪声探测距离 $R_{m}$ 的衰减和透镜因子，结果会略显保守，但在杂波特性存在不确定性的情况下通常足够。精确方法已在随附DVD中的 Mathcad 工作表中给出。

对于示例雷达，使用 (3.40) 时所需的平均改进因子通过 (3.36) 及 $N_{0}=k T_{s}$ 计算得出：

\[ \begin{align*} \overline{I_{m \mathrm{req}}} & =\frac{P_{a v} t_{f} \lambda^{2} \theta_{e} \gamma}{675 k T_{s} h_{r}^{2} \theta_{a}} \\[6pt] & =\frac{100 \times 0.01 \times 0.03^{2} \times 0.024 \times 0.063}{675 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 1,000 \times 12^{2} \times 0.024} \tag{3.41}\\[6pt] & =4.23 \times 10^{10}=106.3 \mathrm{~dB} \end{align*} \]

对于高于、等于或低于 (3.41) 得出的改进因子的情况，其可实现的探测距离列于表3.2中，同时该表还展示了波束抬高情况下的性能示例。

表3.2 探测距离示例

$I_{m}(\mathrm{~dB})$	$\theta_{b}$ (度)	$F^{4}(\mathrm{~dB})$	$I_{0 e} / N_{0}(\mathrm{~dB})$	$R_{m c}(\mathrm{~km})$
>> 106.3	0	0	0	93.2
112.3	0	0	1.0	88.1
106.3	0	0	3.0	78.4
100.3	0.46	-2.7	1.7	72.5
100.3	0	0	7.0	62.4

3.3.5.2 基于地面的脉冲多普勒（PD）雷达¶

脉冲多普勒（PD）雷达的计算可以通过对距离模糊的功率进行求和来完成，如(3.11)和(3.12)所示。但当多个模糊区被杂波占据时，使用连续波（CW）雷达方程，并对占空比和脉冲压缩效应进行修正，可能更为简便。当对脉冲重复间隔（PRI）内所有距离的杂波进行平均时，杂波功率由(3.28)–(3.36)给出，其中占空比 $D_{u}=\tau / t_{r}$ 作为分子中的一个因子。需要注意的是，$D_{u}$ 也用于将峰值功率 $P_{t}$ 转换为平均功率 $P_{av}$，因此在给定峰值功率条件下，杂波能量与 $D_{u}^{2}$ 成比例。当采用相位调制脉冲时，脉冲压缩比 $\tau / \tau_{n}$ 也出现在分母中。

杂波密度作为距离的函数如图 3.2 所示，并按图 3.4 所示对混叠响应进行积分。占空因子和脉冲压缩比包含在(3.36)的分子中，从而得到：

\[ \begin{equation*} \overline{C_{0}}=\frac{P_{av} t_{f} \lambda^{2} \theta_{e} \gamma D_{u} \tau_{n}}{675 h_{r}^{2} \theta_{a} \tau}=\frac{P_{av} t_{f} \lambda^{2} \theta_{e} \gamma \tau_{n}}{675 h_{r}^{2} \theta_{a} t_{r}}, \quad\left(\text { 脉冲多普勒, } \theta_{b}=0\right) \tag{3.42} \end{equation*} \]

其中 $t_{r}$ 为脉冲重复间隔（PRI）。同样的因子以及目标门限杂波与PRI内平均杂波之比 $C_{0 e} / \overline{C_{0 e}}$ 出现在(3.39)和(3.40)的距离方程中，从而得到：

\[ \begin{gather*} R_{m c}=\left(\frac{39.2 h_{r}^{2} \sigma F^{4} F_{r d r}^{2} t_{r} I_{m} \overline{C_{0}}}{\gamma \theta_{a} \theta_{e}^{2} D_{x} L_{a}\left(R_{m c}\right) \tau_{n} C_{0}}\right)^{1 / 4}(\mathrm{~m}), \quad \text{ 当 } \frac{C_{0}}{I_{m} N_{0}} \gg 1, \theta_{b}=0 \tag{3.43}\\ R_{m c}=\left(\frac{19.6 h_{r}^{2} \sigma F^{4} F_{r d r}^{2} t_{r} I_{m} \overline{C_{0}}}{\gamma \theta_{a} \theta_{e}^{2} D_{x} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right) D_{u} \tau_{n} C_{0}}\right)^{1 / 4}(\mathrm{~m}) \approx \frac{R_{m}}{\sqrt[4]{2}}(\mathrm{~m}), \quad \text{ 当 } \frac{C_{0}}{I_{m} N_{0}}=1 \tag{3.44} \end{gather*} \]

与连续波雷达情况相似，括号内的 $L_{\alpha}(R_{m c})$ 可以近似采用热噪声条件下的距离值，或者采用Blake图中的两步迭代结果。

脉冲多普勒雷达在相同天线参数和平均功率下，其输入杂波低于连续波雷达。然而，由于在PRF间隔处的杂波残余谱混叠，导致目标多普勒滤波器输出中增加了多个混叠分量，因此其可用改进因子受到限制[2, pp. 248-252]。因此，其杂波抑制性能不一定优于连续波雷达。PD雷达的主要优点在于发射与接收共用天线，并且可以通过多PRF观测结合来测量目标距离。

3.3.6 表面杂波条件下的探测总结¶

在表面杂波与热噪声环境中求解探测距离的步骤可总结为：首先利用第9章的数据计算表面杂波反射率 $\gamma$，然后计算与距离 $R_{c}$ 相关的以下量：

根据(3.3)计算杂波与目标竞争的模糊距离 $R_{c i}$，并根据(3.18)或(3.19)得到相应的面积 $A_{c i}$，由(3.16)或等效的球地球方程求得掠射角 $\psi_{i}$。
对每个区域，根据第8章数据，计算杂波的图形传播因子 $F_{c i}$ 和大气衰减 $L_{\alpha c i}$。
根据(3.23)求得杂波截面积，并结合(3.5)计算杂波输入能量。
根据(3.7)求得可用于积分的独立杂波样本数，利用第9章提供的杂波速度展宽 $\sigma_{v i}$，并考虑多普勒改进因子，得到杂波相关损失 $L_{c c i}$。
根据(3.8)并结合第9章给出的Weibull展宽参数 $1 \leq a_{w i} \leq 5$，必要时结合杂波图处理修正，得到杂波分布损失 $L_{c d i}$。
根据(3.11)对所有模糊区的有效杂波能量求和，或由(3.33)（适用于CW雷达）得到有效杂波谱密度 $C_{0 e}$。
根据(3.2)得到总干扰谱密度 $I_{0 e}$。
探测距离 $R_{m c}$ 可由一般情况的(3.12)，CW雷达的(3.39)或(3.40)，脉冲多普勒雷达的(3.43)或(3.44)，或图解/求根方法得到。

3.4 体积杂波下的探测¶

体积杂波源自雷达分辨单元内的降水或金属箔条。当考虑体积杂波能量时，遵循第3.1节和3.2节所述的过程，并在3.3节表面杂波处理中加以应用。在探测距离处，体积杂波的有效谱密度 $C_{0 e}$ 与表面杂波叠加。

3.4.1 体积杂波的几何特性¶

体积杂波的几何关系如图3.6所示。分辨单元由天线波束宽度（经波束形状损失修正）和距离分辨单元 $\Delta_{r}$ 所定义，$\Delta_{r}$ 由(3.14)给出，或在CW雷达中由(3.33)积分得到。

图 3.6 体积杂波几何结构。

在云体充满雷达波束的距离处，位于第 $i$ 个模糊区的分辨单元内杂波体积 $V_{c}$ 为：

\[ \begin{equation*} V_{c i}=\frac{R_{c i} \theta_{a}}{L_{p}} \frac{R_{c i} \theta_{e}}{L_{p}} \frac{\tau_{n} c}{2} \quad\left(\mathrm{~m}^{3}\right) \tag{3.45} \end{equation*} \]

其中模糊索引 $i$ 的上下限由(3.3)定义，取决于云体的位置和径向尺寸。通常假设云体的水平横向尺寸超过方位波束宽度，而在俯仰方向上，云体分布在最小高度 $h_{\text{cmin}}$（通常为地表）和最大高度 $h_{c \text{ max }}$（取决于散射粒子来源）之间。当俯仰波束超出这些高度时，式(3.45)中的 $R_{c i} \theta_{e} / L_{p}$ 被有效云体厚度替代：

\[ \begin{equation*} \Delta h_{i}=R_{c i} \Delta \theta=R_{c i} \int_{\theta_{c \min }\left(R_{c i}\right)}^{\theta_{c \max }\left(R_{c i}\right)} f^{4}\left(\theta-\theta_{b}\right) d \theta\quad(\mathrm{~m}) \tag{3.46} \end{equation*} \]

其中 $\theta$ 为俯仰角，$\theta_{b}$ 为波束轴的俯仰角。杂波的上下俯仰角限值由高度范围 $h_{c \max }$ 与 $h_{c \min }$ 及其对应距离 $R_{c i}$ 确定：

\[ \begin{align*} & \theta_{c \max }\left(R_{c i}\right)=\frac{h_{c \max }}{R_{c i}}-\frac{R_{c i}}{2 k_{e} a_{e}}(\mathrm{rad}) \tag{3.47}\\ & \theta_{c \min }\left(R_{c i}\right)=\frac{h_{c \min }}{R_{c i}}-\frac{R_{c i}}{2 k_{e} a_{e}}(\mathrm{rad}) \end{align*} \]

当限值超过俯仰波束宽度时，有 $\Delta \theta \rightarrow \theta_{e} / L_{p}$。对于波束轴高度角 $\theta_{b}<\theta_{e}/2$ 的情况，式(3.45)中的俯仰波束宽度 $\theta_{e}$ 替换为波束中高于地表的部分，即 $\theta_{b}+\theta_{e}/2$。指向地表的波束部分可能通过增大体积杂波的图形传播因子而对体积杂波能量产生贡献，这将在3.4.3节中讨论。

与表面杂波类似，由(3.3)定义的距离模糊区也可能包含体积杂波。分辨单元体积与 $R_{c i}^{2}$ 成正比，无论其位于目标距离 $R$ 以内还是以外。如第5章所述，气象雷达方程[6, p.74, Eq.(4.13)]包含一个常数项 $\pi/(8 \ln 2)=1/L_{p0}^{2}=0.565$，与式(3.45)一致，其中 $L_{p0}^{2}$ 是稠密采样下的二维波束形状损失（见第5章）。文献中若将该常数写为 $\pi/4$，则会高估体积1.4 dB，因为其将椭圆区域内增益恒定的圆柱形波束的立体角代替了描述双坐标轴天线增益离轴衰减的波束形状损失。

3.4.2 体积杂波雷达截面积¶

在距离 $R_{c i}$ 的分辨单元内，体积杂波的雷达截面积为

\[ \begin{equation*} \sigma_{c i}=V_{c i} \eta_{v}\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \tag{3.48} \end{equation*} \]

其中，$V_{c i}$ 是在距离 $R_{c i}$ 处杂波单元的体积（单位 $\mathrm{m}^{3}$），$\eta_{\nu}$ 是由组成云体的散射体所决定的体积反射率，维度为 $\mathrm{m}^{2} / \mathrm{m}^{3}$。体积反射率不仅与雷达工作频率有关，还与散射体的物理特性有关，详见第 9 章。在降水、昆虫以及箔条走廊的情况下，云体通常在各个维度上跨越多个分辨单元。自卫箔条云初期较小，随后逐渐扩展为更大体积，同时单位体积的反射率降低。

3.4.3 体积杂波能量¶

体积杂波能量由式 (3.4) 和 (3.5) 给出，其在多重距离模糊情况下的有效值由式 (3.11) 表示。因此可以写为

\[ \begin{align*} & C_{0}=\sum_{i} C_{i}=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2}}{(4 \pi)^{3} L_{t}} \sum_{i} \frac{\sigma_{c i} F_{c i}^{4} F_{r d r c i}^{2}}{R_{c i}^{4} L_{\alpha c i}} \quad(\mathrm{J}) \\ & \quad=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} F_{p c}^{2} \theta_{e} \theta_{a}\left(\tau_{n} c / 2\right)}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}^{2}} \sum_{i} \frac{\eta_{v} F_{c i}^{4} F_{r d r c i}^{2}}{R_{c i}^{2} L_{\alpha c i}} \tag{3.49}\\ & \quad C_{0 e}=\sum_{i} \frac{C_{i} L_{c c i}}{I_{m i}}=\frac{C_{0} \overline{L_{c c i}}}{\overline{I_{m}}} \tag{3.50} \end{align*} \]

其中，带有横线的项表示在杂波区域上的加权平均值。
对于体积杂波，其图形传播因子 $F_{c i}^{4}$ 的变化小于表面杂波。当波束抬高至地平线上方时，仅分辨单元在垂直方向上的图形变化影响 $F_{c}$，这一影响已作为 $L_{p}$ 包含在式 (3.45) 的某一项中。当地面被显著增益照射时，会出现明显的瓣化结构，其俯仰方向瓣宽为 $\lambda / 2 h_{r}$。在这种情况下，体积杂波在垂直方向上的平均图形传播因子 $F_{c i}^{4}$ 会导致杂波能量增加一个因子 $\overline{F_{c i}^{4}} \leq 6 = 7.8 \mathrm{~dB}$，该值是 $\left[2 \sin \left(2 \theta h_{r} / \lambda\right)\right]^{4}$ 在 $0 < 2 \theta h_{r} / \lambda < 2 \pi$ 俯仰范围上的平均值。如果在应用雷达方程时忽略这种量级的因子，将会导致探测距离估计产生显著误差。

体积杂波与表面杂波的另一差异在于，对于降水，通过采用圆极化可以获得 $F_{p c} \ll 1$ 的极化因子（见第 10.1.1 节）；此外，高空云体可能远远超出表面杂波的视距范围，即使预期目标位于无模糊距离范围内，也会产生多重模糊杂波。表面杂波在存在传播波导时也可能有类似的距离扩展，但高空体积杂波中这种问题更为常见。

3.4.4 体积杂波的可检测因子¶

风切变对体积杂波的影响使得其速度的均值和扩展随距离增加而增大。由式 (3.6) 和 (3.7) 描述的杂波相关损失 $L_{c c}$ 也适用于体积杂波，但由于体积杂波的速度扩展 $\sigma_{\nu}$ 更大（见第 9 章），其值小于表面杂波。速度扩展的增加降低了 $L_{c c}$，即使在没有 MTI 处理的情况下，也会导致有效杂波谱密度随距离增加的增长速度小于仅由分辨单元体积增加所预测的增长速度。体积杂波的概率密度函数近似为瑞利分布，至少在小范围的分辨单元平均 CFAR 中成立，因此在式 (3.8) 中 $L_{c d} \approx 1$。因此，体积杂波的杂波可检测因子 $D_{x c}$（由式 (3.9) 给出）相较于仅噪声情况的 $D_{x}$ 仅增加了一个杂波相关损失 $L_{c c}$。

3.4.5 体积杂波和噪声下的探测距离¶

在对杂波体积、反射率和传播因子作为目标距离 $R$ 的函数进行评估后，可以根据式 (3.11) 得到有效杂波密度，将其与噪声密度（式 (3.2)）相加，并作为干扰谱密度 $I_{0 e}$ 代入，替代式 (1.26) 中的噪声密度 $N_{0}$，并在式 (3.12) 中使用，以求得体积杂波和噪声环境下的最大探测距离。与表面杂波相同，该方程右侧的许多项依赖于距离，通常需要通过图解法或数值求根来确定 $R_{m c}$。

在某些特殊情况下，可以推导出 LPRF 雷达探测距离的闭合形式方程，其条件如下：

无距离模糊杂波：$R_{c}=R, L_{\alpha c}=L_{\alpha}, F_{r d r c}=F_{r d r}$；
无地面反射瓣化：$F_{c}=F=1$；
杂波损失 $L_{c d}=1$，且 $L_{c c}$ 随距离保持不变；
改善因子 $I_{m}$ 随距离保持不变；
杂波能量在处理器输出端占主导：$C_{0 e} \gg N_{0}$，因此 $I_{0 e}=C_{0 e}$。

此时可将式 (3.45)、(3.48) 和 (3.11) 结合得到：

\[ \begin{equation*} I_{0 e}=C_{0 e}=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \eta_{v} \theta_{a} \theta_{e}\left(\tau_{n} c / 2\right) F_{p c}^{2} F_{r d r}^{2} L_{c c}}{(4 \pi)^{3} R^{2} L_{t} L_{\alpha} L_{p}^{2} I_{m}}(\mathrm{~W} / \mathrm{Hz}), C_{0 e} \gg N_{0} \tag{3.51} \end{equation*} \]

由此和式 (1.26) 可写出，在 LPRF 雷达（无距离模糊）情况下：

\[ \begin{align*} \frac{E}{I_{0 e}} & =\frac{\sigma F_{p}^{2} F_{r d r}^{2} L_{p}^{2} I_{m}}{R_{m c}^{2} \eta_{v} \theta_{a} \theta_{e}\left(\tau_{n} c / 2\right) F_{p c}^{2} L_{c c}}=D_{x}\left(n^{\prime}\right), C_{0 e} \gg N_{0} \tag{3.52}\\ R_{m c}^{2} & =\frac{\sigma F_{p}^{2} F_{r d r}^{2} L_{p}^{2} I_{m}}{\eta_{v} \theta_{a} \theta_{e}\left(\tau_{n} c / 2\right) F_{p c}^{2} L_{c c} D_{x}\left(n^{\prime}\right)}\left(\mathrm{m}^{2}\right), C_{0 e} \gg N_{0} \tag{3.53} \end{align*} \]

注意，波束形状损失 $L_{p}^{2}$ 出现在分子中，而对应的目标损失则包含在分母的 $D_{x}$ 内。在该推导中保留了极化因子 $F_{p}$ 和 $F_{p c}$，因为它们不随距离变化。天线极化有时会为了抑制降水而选择：$F_{p} \gg F_{p c}$。然而，其余假设限制了该解的适用范围。

该表达式适用的一个典型示例如图 3.7 所示，其中表 3.1 所述的 X 波段雷达采用 LPRF 波形，在无 MTI 条件下透过 $1 \mathrm{~mm} / \mathrm{h}$ 的降雨云体，但使用圆极化以抑制杂波：$F_{p c}^{2}=0.01, F_{p}^{2}=0.5$。由于目标的极化因子 $F_{p}^{2}$ 较低以及雨中额外衰减，信号能量曲线低于图 3.2 中的结果。图中的距离刻度为对数坐标，用于说明目标能量和杂波能量分别与 $R^{-4}$ 和 $R^{-2}$ 呈线性依赖关系。闭合形式的式 (3.53) 可用，因为在 $R_{m c}$ 处，杂波谱密度比噪声高约 35 dB。

图 3.7 典型目标和体积杂波能量随距离的变化关系，LPRF 雷达，目标位于波束轴上，无 MTI 处理。体积杂波在所有距离上充满波束。

在该示例中，并未考虑 MTI 改善。显然，引入 MTI 处理将是有利的，它可以提供约 $15 \mathrm{~dB}$ 的杂波抑制（见第 9.6.1 节），从而使目标在接近 50 km 处得以探测。

3.4.6 连续波（CW）与脉冲多普勒（PD）雷达中的体积杂波¶

在采用相位调制以获得距离分辨率 $\tau_{n}$ 的连续波（CW）雷达中，其体积杂波由前一节中针对脉冲雷达给出的公式来描述。分辨单元在方位方向上的横向尺寸由波束宽度决定，而在俯仰方向上，则由波束宽度或云层厚度决定，如式（3.46）所示。

在非调制连续波雷达中，杂波在距离方向上的尺寸是位于云层内的路径长度。Blake [3, p. 300, Eq. (7.18)] 提出了一种表达式，利用在距离、方位和俯仰三个维度上的三重积分来给出脉冲雷达中的杂波能量，其中 $\eta_{\nu}$ 在半球范围内保持不变，但云层的俯仰范围一般是随距离而变化的。

3.4.6.1 连续波雷达的体积杂波能量¶

在假设云层在角度坐标的两个方向上均超出雷达波束的情况下，可以对连续波雷达在体积杂波中的性能获得有用的认识。在这种情况下，表面杂波的表达式（3.29）–（3.33）可以修改为体积杂波，得到：

\[ \begin{gather*} d \sigma_{c}=\frac{R_{c}^{2} \theta_{a} \theta_{e} \eta_{v}}{L_{p}^{2}} d R_{c} \tag{3.54}\\ d C=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} F_{p c}^{2}}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}^{2}}\left[\frac{F_{c}^{4}}{R_{c}^{2} L_{\alpha c}}\right] d R_{c}=K_{c v}\left[\frac{F_{c}^{4}}{R_{c}^{2} L_{\alpha c}}\right] d R_{c} \quad(\mathrm{J}) \tag{3.55}\\ C_{0 e}=\int_{R_{c \min }}^{R_{c \max }} d C=K_{c v} \int_{R_{c \min }}^{R_{c \max }} \frac{F_{c}^{4}}{I_{m} R_{c}^{2} L_{\alpha c}} d R_{c}(\mathrm{~W} / \mathrm{Hz}) \tag{3.56}\\ \end{gather*} \]

再次考虑表 3.1 中所描述的 X 波段雷达，其工作环境为图 3.7 所假设的 $1 \mathrm{~mm} / \mathrm{h}$ 降雨，但采用连续波波形并使用圆极化。由式（3.55）得到的杂波密度如图 3.8 所示。峰值密度出现在距离 $R_{f f}$ 处，大部分杂波能量来自天线前方 $\approx 6 R_{f f}$ 范围内的体积。

杂波反射率 $\eta_{\nu}$ 通常假设在云层内保持常数，并包含在 $K_{c v}$ 中，但如果它随距离的变化规律已知，则可以放入式（3.56）的积分中。大气衰减被包括在积分内，因为当 $R_{\text{cmin}}$ 较大时，其影响可能显著。与表面杂波分析相同，对于连续波雷达，$F_{\text{rdr}}$ 和 $L_{c c}$ 被假设为 1，因此在公式中被省略。

图 3.8 在 $1 \mathrm{~mm}/\mathrm{h}$ 降雨中连续波雷达的体积杂波密度与距离的关系，绘制条件为波束宽度 $\theta_{a}=\theta_{e}=1.4^{\circ}$，波长 $\lambda=0.03 \mathrm{~m}$，远场距离 $R_{f f}=150 \mathrm{~m}$。

积分的距离上下限取决于云层的位置和范围。当云层包围雷达时，最小距离 $R_{\text{cmin}}$ 接近于零，但天线波束在天线的远场距离内尚未完全形成，该距离为：

\[ \begin{equation*} R_{f f}=\frac{2 w h}{\lambda}=\frac{2 \lambda K_{\theta}^{2}}{\theta_{a} \theta_{e}} \tag{3.57} \end{equation*} \]

其中 $w$ 和 $h$ 分别是口径的宽度和高度，$K_{\theta} \approx 1.2$ 为波束宽度常数。为了避免发射机与接收机之间的直接耦合，大多数连续波雷达需要在水平方向分离 $w$ 或垂直方向分离 $h$ 的天线。因此，两束波在 $\approx R_{f f} / 2$ 开始重叠，且只有在超过 $R_{f f}$ 后，才能实现完整的增益乘积 $G_{t} G_{r}$。

为考虑短距离时天线增益乘积的降低，体积杂波的传播因子可表示为：

\[ \begin{equation*} F_{c}=\frac{R_{c}}{R_{c}+R_{f f}} \tag{3.58} \end{equation*} \]

将 $L_{\alpha c}$ 和 $F_{\text{rdr}}$ 重新定义为积分上下限内的加权平均，它们可以移到积分号外，从而得到：

\[ \begin{align*} \int_{R_{c \min }}^{R_{c \max }} \frac{R_{c}^{2}}{\left(R_{c}+R_{f f}\right)^{4}} d R_{c} & =\frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \min }+3 R_{c \min }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \min }\right)^{3}}-\frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \max }+3 R_{c \max }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \max }\right)^{3}} \\[6pt] & \approx \frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \min }+3 R_{c \min }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \min }\right)^{3}} \quad \text{当 } R_{c \min } \ll R_{c \max } \tag{3.59}\\[6pt] & \approx 1 / 3 R_{f f} \quad \text{当 } R_{c \min } \ll R_{f f}<R_{c \max } \end{align*} \]

式（3.59）中的最终近似适用于杂波云包围雷达的情况。此时大气衰减 $L_{\alpha c} \approx 1$，输入杂波能量为：

\[ \begin{align*} C_{0} & =\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} F_{p c}^{2}}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}^{2}} \frac{1}{3 R_{f f}} \tag{3.60}\\ & =\frac{P_{a v} t_{f} \lambda \eta_{v} F_{p c}^{2}}{24 \pi L_{t} L_{p}^{2} K_{\theta}^{2} L_{n}^{2}}=\frac{P_{a v} t_{f} \lambda \eta_{v} F_{p c}^{2}}{264 L_{t}} \quad(\mathrm{J}) \end{align*} \]

有效杂波能量为 $C_{0 e}=C_{0} / \overline{I_{m}}$，其中 $\overline{I_{m}}$ 为杂波区域上的加权平均改进因子。杂波能量与天线参数无关，除了极化因子。

3.4.6.2 体积杂波下CW雷达的探测距离¶

结合 (1.26) 和 (3.58)，信号与杂波能量比在一般情况下可表示为：

\[ \begin{equation*} \frac{E(R)}{C_{0 e}}=\frac{\sigma F_{p} F^{4} F_{\mathrm{rdr}}^{2} L_{p}^{2} L_{\alpha c} I_{m}}{R^{4} \theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} F_{p c}^{2} L_{\alpha}(R)}\left[\frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \min }+3 R_{c \min }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \min }\right)^{3}}-\frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \max }+3 R_{c \max }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \max }\right)^{3}}\right]^{-1} \tag{3.61} \end{equation*} \]

注意括号中的项与目标距离 $R$ 无关。与表面杂波类似，这里也存在两种可以写出封闭形式解的特殊情况。当杂波残余占主导时，$C_{0 e} \gg N_{0}$，可通过解 $E / C_{0 e}=D_{x}$ 求得探测距离 $R_{m c}$：

\[ \begin{align*} R_{m c}^{4} & =\frac{\sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{\mathrm{rdr}}^{2} L_{p}^{2} L_{\alpha c} I_{m}}{\theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}\left[\frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \min }+3 R_{c \min }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \min }\right)^{3}}-\frac{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \max }+3 R_{c \max }^{2}}{3\left(R_{f f}+R_{c \max }\right)^{3}}\right]^{-1} \\ & \approx \frac{\sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{r d r}^{2} L_{p}^{2} L_{\alpha c} I_{m}}{\theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)} \frac{3\left(R_{f f}+R_{c \min }\right)^{3}}{R_{f f}^{2}+3 R_{f f} R_{c \min }+3 R_{c \min }^{2}} \quad \text { 对于 } R_{c \min } \ll R_{c \max } \tag{3.62}\\ & \approx \frac{3 R_{f f} \sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{r d r}^{2} L_{p}^{2} I_{m}}{\theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)} \quad \text { 对于 } R_{c \min } \ll R_{f f}<R_{c \max } \end{align*} \]

（参见 (3.40) 下的脚注，了解在这些公式中如何计算 $L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)$。）

在 (3.62) 的最后一个近似式中，当杂波包络住天线时，可通过代入 (3.57) 直接用雷达参数表示为：

\[ \begin{equation*} R_{m c}^{4}=\frac{6 \lambda \sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{\mathrm{rdr}}^{2} L_{p}^{2} K_{\theta}^{2} I_{m}}{\theta_{a}^{2} \theta_{e}^{2} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}=\frac{15.3 \lambda \sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{\mathrm{rdr}}^{2} I_{m}}{\theta_{a}^{2} \theta_{e}^{2} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}, \quad C_{0 e} \gg N_{0} \tag{3.63} \end{equation*} \]

如果在我们的示例雷达中 $I_{m}=50 \,\mathrm{dB}$，则计算得到 $R_{m c}=27.3 \,\mathrm{km}$。探测距离随两个波束宽度的平方倒数变化，这一结果源于杂波体积和远场距离的共同作用，其中远场距离会影响对近距离杂波的响应。

第二种情况的封闭解基于假设 $C_{0 e}=N_{0}$：

\[ \begin{equation*} R_{m c 0}=\frac{R_{m}}{\sqrt[4]{2}}=\left[\frac{7.6 \lambda \sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{\mathrm{rdr}}^{2} I_{m}}{\theta_{a}^{2} \theta_{e}^{2} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}\right]^{1 / 4}, \quad C_{0 e}=N_{0} \tag{3.64} \end{equation*} \]

此时所需的改进因子为 $I_{m}=C_{0} / N_{0}$，根据 (3.60) 可得：

\[ \begin{equation*} I_{m \mathrm{req}}=\frac{P_{a v} t_{f} \lambda \eta_{v} F_{p c}^{2}}{264 k T_{s} L_{t}} \tag{3.65} \end{equation*} \]

对于我们的示例，计算结果为 $I_{\text {mreq }}=69.2 \,\mathrm{dB}$，$R_{c m 0}=65.4 \,\mathrm{km}$。

3.4.6.3 雨中CW雷达实例¶

对于一部基于地面的X波段CW雷达，其参数列于表3.1，在 $1 \,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ 的降雨率下采用圆极化，依据(3.60)计算得到的接收杂波能量为 $C_{0}=9 \times 10^{-14} \,\mathrm{J}$。若采用改进因子 $I_{m}=60 \,\mathrm{dB}$，则可将有效杂波谱密度降低至 $C_{0}=9 \times 10^{-20} \,\mathrm{W}/\mathrm{Hz}$，而热噪声谱密度为 $N_{0}=1.4 \times 10^{-20} \,\mathrm{W}/\mathrm{Hz}$。由此得到的 $C_{0 e}/N_{0}=8.2 \,\mathrm{dB}$ 足够高，可使用(3.63)来求解近似作用距离：

\[ R_{m c}^{4} \approx \frac{15.3 \lambda \sigma F_{p}^{2} F^{4} F_{\mathrm{rdr}}^{2} I_{m}}{\theta_{a}^{2} \theta_{e}^{2} \eta_{v} D_{x} F_{p c}^{2} L_{\alpha}\left(R_{m c}\right)}=5.6 \times 10^{18}(\mathrm{m}) ; \quad R_{m c} \approx 49 \,\mathrm{km} \]

精确作用距离略小一些，因为 $8.2 \,\mathrm{dB}$ 仍不足以完全忽略噪声的影响。结果与波束仰角无关，因为杂波来源于距天线几百米范围内。上述结果基于 $I_{m}=60 \,\mathrm{dB}$、$F_{p c}^{2}=0.01$ 和 $F_{p}^{2}=0.5$，适用于发射和接收均为同向圆极化（例如发射和接收均为右旋极化）的天线。针对飞机目标设计的CW雷达通常可提供更大的 $I_{m}$ 值：第3.3.5节中指出，为抑制地表杂波，需要超过100 dB的值。这样的多普勒处理性能即使在雨中工作，也能保持热噪声条件下的探测性能，即使未采用圆极化也同样成立。

3.4.6.4 脉冲多普勒雷达的体积杂波能量¶

脉冲多普勒（PD）雷达的体积杂波能量可由(3.49)计算，但当多个距离模糊区均被杂波占据时，使用CW雷达方程并针对占空比和脉冲压缩效应进行修正会更为简便。在脉冲重复间隔（PRI）内对所有距离单元进行平均时，可以通过在(3.28)和(3.56)-(3.58)的 $K_{c v}$ 分子中引入占空比 $D_{u}$ 来修正，而在使用调制脉冲时，则需在 $K_{c v}$ 的分母中引入脉冲压缩比 $\tau/\tau_{n}$。在计算PD雷达天线的远场距离时，(3.57)分子中的因子2应省略，因为收发波束由同一天线形成，远场距离为 $R_{f f}=w h/\lambda$，且波束在所有距离上重合。由此，当云体包络雷达时，平均PD体积杂波能量为：

\[ \begin{align*} \overline{C_{0 e}} & =\int_{R_{c \min }}^{R_{c \max }} d C=\frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \theta_{a} \theta_{e} \eta_{v} F_{p c}^{2} D_{u}}{(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}^{2} I_{m}\left(\tau / \tau_{n}\right)} \int_{R_{c \min }}^{R_{c \max }} \frac{F_{c}^{4}}{R_{c}^{2} L_{\alpha c}} d R_{c} \quad(\mathrm{W}/\mathrm{Hz}) \tag{3.66}\\ & \approx \frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda \theta_{a}^{2} \theta_{e}^{2} \eta_{v} F_{p c}^{2} \tau_{n}}{3(4 \pi)^{3} L_{t} L_{p}^{2} K_{\theta}^{2} I_{m} t_{r}} \quad \text{ 当 } R_{c \min }<R_{f f}=\frac{w h}{\lambda} \end{align*} \]

此平均杂波能量需与噪声谱密度相加以得到 $I_{0 e}$，用于(3.12)中计算平均探测距离。

图3.7展示了体积杂波密度随距离的变化，包含了占空比、脉冲压缩和在无模糊距离 $R_{u}$ 处混叠效应的修正。与目标竞争的杂波围绕该平均值变化，如图3.9所示。最大值出现在包含远场距离 $R_{f f}$ 的第一个距离单元中，在此波束已完全形成。该单元内的杂波高于噪声电平约 $65 \,\mathrm{dB}$，因此需要 $I_{m}>75 \,\mathrm{dB}$ 才能避免降低目标可探测性。

图3.9 高脉冲重复频率（HPRF）PD雷达在 $D_{u}=10 \%$ 条件下的体积杂波输入能量水平，其工作条件与图3.8中的CW雷达相同。

3.4.7 体积杂波环境下的探测总结¶

在同时存在体积杂波和热噪声的环境中，求解探测距离的步骤可归纳为以下几个方面：

根据(3.3)确定在目标距离 $R$ 上与目标竞争的杂波模糊距离 $R_{c i}$，并由(3.45)求得相应体积 $V_{c i}$。
使用第9章的数据，确定每个区域的体积杂波反射率 $\eta_{v i}$。
依据第8章的数据，对每个体积单元积分计算体积方向-传播因子 $F_{c i}$，并考虑大气衰减 $L_{\alpha c i}$。
依据(3.48)计算杂波雷达散射截面，并由(3.5)得到杂波模糊距离 $R_{c i}$ 的杂波输入密度。
依据(3.6)计算可用于积累的独立杂波样本数，进而得到杂波相关损失 $L_{c c i}$，并结合第9章提供的每个模糊区的杂波速度展宽 $\sigma_{v i}$ 数据，在采用多普勒处理时考虑改进因子 $I_{m i}$。
基于(3.56)（CW雷达）或(3.66)（PD雷达）求和得到所有模糊区的有效杂波能量，并由(3.11)得到有效杂波谱密度 $C_{0 e}$，其中 $C_{c d}=1$。
由(3.2)计算有效干扰谱密度 $I_{0 e}$。
由(3.12)计算探测距离 $R_{m c}$。

当地表杂波和体积杂波同时出现在相同距离时，计算多普勒改进因子 $I_{m i}$ 时必须考虑两类杂波的不同速度。最终将两类杂波的有效杂波谱密度 $C_{0 e}$ 与噪声相加后，才能求得探测距离。

3.5 离散杂波的影响¶

有两类离散杂波会对雷达造成问题，这与前面讨论的地表杂波和体积杂波不同：

来自鸟类或地面车辆等运动物体的回波；
来自地面固定物体（主要是人工建筑物）的强回波。

运动物体的径向速度可能落在多普勒处理器的响应带内，被当作目标送到输出端，从而使人工操作员或跟踪-搜索通道的容量超载。来自大型固定物体的回波可能超过信号处理器的抵消能力，产生可见杂波或虚警，妨碍对所需目标的探测和跟踪。这些回波的离散特性使得基于单元平均的恒虚警（CFAR）检测器无法将其抑制，而其他抑制手段可能会将门限提高到一个水平，从而抑制多个分辨单元中的目标检测，包括含有强杂波的那个单元及其周边。

第9章将讨论这两类离散杂波的建模方法，以及相应的抑制处理技术。离散杂波的影响并不是通过减小期望目标的最大探测距离 $R_{m}$ 来衡量的。相反，如果信号处理器未能充分抑制杂波，虚警概率就会增加，给后续数据处理带来负担。充分的杂波抑制不可避免地会导致覆盖区某些区域的目标探测概率下降，这是由于抑制过程中信号损失增加所致。

3.5.1 虚警的影响¶

在跟踪-搜索或多功能雷达系统中，数据处理器会为出现在某个位置、且未与已有航迹文件关联的警报分配一个跟踪通道，以尝试航迹起始。该通道在警报之后的若干次扫描内被占用。为了保证可靠的航迹起始，数据处理系统中的跟踪通道数 $n_{c h}$ 必须多于实际目标数 $n_{t r}$：

\[ \begin{equation*} n_{c h} \geq n_{t r}+n_{t i n} n_{r} n_{a z} P_{f a}+n_{t i c} n_{p} \approx n_{t r}+\frac{n_{t i n} A_{m} R_{m}^{2}}{2 A_{c}} P_{f a}+n_{t i c} n_{p} \tag{3.67} \end{equation*} \]

其中：

\[ \begin{array}{ll} n_{t i n}= & \text { 噪声虚警后航迹起始所需的扫描次数； } \\ n_{r}= & \text { 最大探测距离 $R_{m}$ 内的距离单元数； } \\ n_{a z}= & \text { 扫描扇区 $A_{m}$ 内的方位单元数； } \\ P_{f a}= & \text { 噪声的虚警概率； } \\ n_{t i c}= & \text { 杂波虚警后航迹起始所需的扫描次数； } \\ n_{p}= & \text { 未被抑制的杂波点数； } \\ A_{c}= & \text { 由 (3.18) 给出的分辨单元面积； } \\ A_{m} R_{m}^{2} / 2= & \text { 方位扇区 $A_{m}$ 扫描至距离 $R_{m}$ 所覆盖的表面积。 } \end{array} \]

式 (3.67) 右边的第一项是期望的目标航迹数，第二项是尝试对噪声虚警进行航迹起始和获取所占用的平均通道数，第三项是类似地由离散杂波虚警消耗的平均通道数。当希望对具有大RCS的目标进行探测并跟踪至超过最大探测距离 $R_{m}$ 的仪器化距离 $R_{\text {inst }}$ 时，应在 (3.67) 中用 $R_{\text {inst }}$ 替代 $R_{m}$。

3.5.2 噪声虚警概率的要求¶

为了避免对数据处理器造成过大负担，通常设定 $P_{f a}$ 使得 (3.67) 中的第二项远小于第一项。例如，若期望的最大目标数为 $n_{t r}=100$，则应设定 $P_{f a}$ 使第二项小于 10 个通道。噪声虚警在搜索扇区内是非相关且随机分布的，因此在噪声虚警之后的航迹起始尝试次数可限定为 $n_{\text {tin}}=2$。因此，在本例中，每次扫描约允许 5 个噪声虚警：$n_{r} n_{a z} P_{f a} \leq 5$。在典型的 $360^{\circ}$ 搜索雷达中，$n_{r}=2,000$ 且 $n_{a z}=200$，因此搜索扇区内共有 $n_{r} n_{a z}=4 \times 10^{5}$ 个分辨单元，进而要求 $P_{f a} \leq 5 / n_{r} n_{a z} =1.25 \times 10^{-5}$。在搜索中使用更高分辨率时，必须进一步降低 $P_{f a}$，从而提高所需的信噪比。

3.5.3 离散杂波抑制的要求¶

(3.67) 中的第三项必须通过信号处理器的设计加以控制。由于杂波虚警在扫描之间是相关的，因此一次杂波虚警后的航迹起始尝试或固定回波识别通常需要 $n_{\text {tic}}=5$ 次扫描。由此可见，如果要保证离散杂波对航迹处理器的负荷低于 10 个通道，则每次扫描允许的杂波虚警数应满足 $n_{p} \leq 2$。

在跟踪-搜索和多功能雷达系统的设计中，一个重要原则是：监视覆盖范围内的每个可探测目标必须被分配到一个航迹文件，或者被纳入杂波图中。否则将会出现重复警报，要求不断尝试航迹起始。鸟类统计数据表明，大多数探测源于回波的随机上升波动，而这些回波的平均值过低，无法提供可靠的跟踪或映射。只有利用目标与鸟类在RCS、高度或真实速度上的差异，才能避免随机虚警对数据处理器的负荷。Shrader [7, p. 2.87] 描述了一种灵敏度-速度控制（SVC）系统，该系统结合RCS与真实（无模糊）径向速度的测量来实现这种区分，利用多个CPI中的PRF多样性。他认为该方法最适用于工作频率低于 1.4 GHz 的雷达。对于UHF或更低频段的雷达，大多数鸟类处于瑞利散射区，其RCS随频率 $f_{0}^{4}$ 变化，从而减少了可探测目标的数量。在这些低频段运行还能够对低空目标进行区分，但这些低空目标可能既包括鸟类和地面车辆，也包括真正的目标。

表 9.3 的数据表明，大都市地区存在超过 +40 dBsm 的固定杂波源，其密度高达约 $0.2$ 每 $\mathrm{km}^{2}$。这种密度的最大范围通常为 $R_{c \max }=20 \mathrm{~km}$。在 $20 \mathrm{~km}$ 范围内的 $360^{\circ}$ 扫描区域面积约为 $1,250 \mathrm{~km}^{2}$，因此预计会有约 250 个超过 +40 dBsm 的杂波点。几乎所有这些杂波点都必须被阻止向数据处理器发送警报。

固定离散杂波无法通过单元平均CFAR门限控制来抑制，因为含有杂波的单元散布在搜索区域内。必须通过信号处理器中的速度鉴别和杂波映射相结合的方法来抑制，如第9.6.5节所述。表 9.3 的数据基于风力涡轮机（第9.4.4节）部署之前的观测，而风力涡轮机同时具有大RCS、固定位置和大的多普勒频移。杂波映射似乎为这种类型的固定杂波提供了一种解决方案。

3.5.4 离散杂波影响总结¶

没有公式能够直接描述离散杂波对雷达探测距离的影响。离散杂波主要控制信号处理器的设计，其导致的处理器损失通过有效可探测性因子 $D_{\chi}$ 来体现。高分辨率杂波图提供了一种在抑制部分目标探测的代价下抑制强固定杂波点的方法。对于未被信号处理器完全抑制的离散杂波，后续数据处理器必须设计成能够处理超过实际目标数的跟踪负荷，以避免饱和，从而确保对实际目标探测的响应不被阻塞。

3.6 旁瓣杂波¶

通常情况下，主瓣与旁瓣天线增益之比足够高，使得接收机输入端的旁瓣杂波相对于前述主瓣杂波可以忽略。然而在以下两种情况下，旁瓣杂波可能成为重要因素：

当主瓣杂波的改进因子明显大于旁瓣可获得的改进因子（例如雷达与杂波的相对运动导致）；
当双程主瓣与旁瓣增益比不足以将旁瓣杂波总功率降至主瓣杂波以下。

以下分别讨论这些情况在地表杂波和体积杂波中的适用方程。

3.6.1 主瓣旁瓣中的地表杂波¶

天线方位旁瓣贡献的杂波面积远大于 (3.18) 所示的主瓣杂波面积，因为旁瓣扇区（包括后瓣）覆盖 $\pm (\pi - \theta_{a}) \approx \pm \pi$ 弧度。杂波面积 $A_{c}$ 是以雷达正下方为中心、半径 $R_{c} \cos \psi$ 的环形区域。与主瓣相比，该面积约大 $2 \pi L_{p} / \theta_{a}$ 倍：

\[ \begin{equation*} A_{c s}=2 \pi R_{c} \frac{\tau_{n} c}{2}=\pi R_{c} \tau_{n} c \quad\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \tag{3.68} \end{equation*} \]

其中双程模式传播因子 $F_{c s}^{4}$ 相对于主瓣 $F_{c}^{4}$ 被旁瓣增益比 $\left(G / G_{s}\right)^{2}$ 减小，$G_{s}$ 是方位旁瓣的平均功率增益。典型天线的远旁瓣增益为 $G_{s} \approx -10$ dB，相对于各向同性天线。

对于主瓣增益 $G = +30$ dB，$\theta_{a}=2^{\circ}$ 的扇形监视天线：

\[ \begin{aligned} & A_{c s} / A_{c}=360 / \theta_{a}=180=+22.6 \mathrm{~dB} ; \\ & F_{c s}^{4} / F_{c}^{4}=10^{-8}=-80 \mathrm{~dB} ; \\ & \sigma_{c s} F_{c s}^{4} / \sigma_{c} F_{c}^{4}=1.8 \times 10^{-6}=-57.4 \mathrm{~dB} . \end{aligned} \]

这说明，对于典型天线，当主瓣改进因子 $I_{m} < 57$ dB 时，可以忽略旁瓣杂波。对陆基雷达而言，旁瓣与主瓣杂波的频谱展开相等，且均可通过多普勒处理减小。

3.6.1.1 移动脉冲多普勒雷达中的旁瓣杂波¶

使用脉冲多普勒处理的雷达，主瓣杂波改进因子 $I_{m} > 60$ dB，可通过拒止带宽覆盖主瓣杂波速度扩展。然而当雷达相对地面速度接近或超过拒止带宽时，$I_{m}$ 会迅速降至 0 dB，旁瓣杂波可能成为主要干扰。这种情况常见于舰载低PRF脉冲多普勒雷达（MTD）以及任何PRF的机载脉冲多普勒雷达。

在机载MPRF和HPRF雷达中，由于存在多个距离模糊，旁瓣杂波问题更为严重。一些模糊距离远小于目标距离，导致杂波谱如图 3.10 所示。MPRF雷达中，杂波占据整个速度空间，只有当旁瓣杂波谱密度低于目标能量所需的可探测因子 $D_{x}$ 时，才能检测主瓣区域外的目标。HPRF雷达中，虽然杂波水平更高（由于更多距离模糊且距离更短），仍存在一个清晰的多普勒区域可在噪声水平以上进行探测。

图3.10 机载脉冲多普勒雷达的地面杂波谱：(a)中脉冲重复频率，(b)高脉冲重复频率。（引自文献[2]）

3.6.1.2 低增益天线中的旁瓣杂波¶

一些雷达设计中，发射天线为宽波束，照射大面积地面，在此范围内，狭窄接收波束的增益和长时间积分可补偿发射增益的损失。在极限情况下，发射天线方位方向增益均匀，接收波束的旁瓣杂波仅通过单程旁瓣比 $G / G_{s}$ 减小。

对于前一节示例中的接收天线，旁瓣与主瓣杂波比为：

\[ \begin{aligned} & A_{c s} / A_{c}=360 / \theta_{a}=180=+22.6 \mathrm{~dB} ; \\ & F_{c s}^{4} / F_{c}^{4}=10^{-4}=-40 \mathrm{~dB} ; \\ & \sigma_{c s} F_{c s}^{4} / \sigma_{c} F_{c}^{4}=0.018=-17.4 \mathrm{~dB} . \end{aligned} \]

若雷达相对地面运动，旁瓣杂波的改进因子可能不足以使其低于主瓣杂波，此时 (3.4) 和 (3.5) 的计算需将 $\sigma_{c i} F_{c i}^{4}$ 包含主瓣和旁瓣区域，并在 (3.10) 中对两部分应用不同改进因子。

3.6.2 主瓣旁瓣中的体积杂波¶

天线旁瓣贡献的杂波体积远大于 (3.45) 所示主瓣体积，因为旁瓣扇区（包括后瓣）覆盖整个半球（地面雷达 $2\pi$ sr，机载雷达 $4\pi$ sr）。地面雷达上部旁瓣的降水杂波受上云高度 $h_{\text {cmax}}$ 限制，体积为：

\[ \begin{equation*} V_{c s}=A_{c s} h_{c \max }=2 \pi R_{c} h_{c \max } \frac{\tau_{n} c}{2}=\pi R_{c} h_{c \max } \tau_{n} c \quad\left(\mathrm{~m}^{3}\right) \tag{3.69} \end{equation*} \]

假设云覆盖雷达到 $R_{c}$ 的全部方位。

旁瓣与主瓣体积比为：

\[ \begin{equation*} \frac{V_{c s}}{V_{c}}=\frac{\pi L_{p}^{2}}{\theta_{a}} \frac{h_{c \max }}{R_{c} \theta_{e}} \tag{3.70} \end{equation*} \]

以 $\theta_{a}=\theta_{e}=2^{\circ}=0.035$ rad、$h_{\text {cmax}}=3$ km、$R_{c}=30$ km 的铅笔波束天线为例：

\[ V_{c s} / V_{c}=620=+27.9 \mathrm{~dB} \]

主瓣增益 $G=6,700=+38.3$ dB，旁瓣 rms 增益 $G_{s}\approx-10$ dB，相对于各向同性天线：

\[ \begin{aligned} & F_{c s}^{4} / F_{c}^{4}=10^{-8}=-96.5 \mathrm{~dB} \\ & \sigma_{c s} F_{c s}^{4} / \sigma_{c} F_{c}^{4}=1.15 \times 10^{-6}=-59.4 \mathrm{~dB} \end{aligned} \]

对典型铅笔波束天线，可忽略旁瓣杂波，除非主瓣杂波改进因子超过旁瓣 59 dB。旁瓣降水杂波速度谱随风速 $v_{w}$ 展开在 $\pm v_{w}$ 范围内，改进因子 $I_{m}$ 通常不及主瓣。

若发射波束在方位方向增益均匀，模式传播因子比为 -48.3 dB，系统 $I_{m}>17$ dB 时，如其速度扩展超出杂波拒止带，则需考虑旁瓣体积杂波。

若干扰为箔条（chaff），其覆盖范围通常不及整个旁瓣区域，但处理方法同降水杂波。

3.7 噪声干扰下的探测¶

3.7.1 噪声干扰的目的与方法¶

噪声干扰的目的是掩蔽目标，使其无法被雷达探测。其效果可通过将有效干扰谱密度 $J_{0 e}$ 作为干扰 $I_{0 e}$ 的组成部分纳入雷达方程进行评估。

3.7.1.1 支援干扰¶

噪声干扰主要作为支援干扰技术使用 [8, p. 11]，即干扰机由与受保护目标分离的载具携带。干扰机可以位于受害雷达与目标之间的不同位置：

超距干扰机（SOJ, Stand-off Jammer）：$R_{j} > R$，位于目标之外；
护航支援干扰机（ESJ, Escort Support Jammer）：$R_{j} \approx R$，靠近目标；
内置干扰机（Stand-in Jammer）：$R_{j} < R$，位于目标范围内。

干扰机通常与目标在角度上分离，以位于照射目标的雷达波束旁瓣中。干扰功率一般足以使雷达无法测量干扰机的距离，但可以利用多个雷达站的数据和干扰角度信息进行三角测量定位。

支援干扰机通常用于保护多个搜索或火控雷达，因此需覆盖多个雷达频率（可能在不同雷达频段）。为了确保覆盖，通常采用阻塞噪声干扰覆盖所有受害雷达可调频带。当可用干扰功率不足时，可由拦截接收机控制，实现频点干扰（spot jamming），覆盖每个雷达信号的带宽 $B$，此模式需周期性“窥视”间隙，以拦截新的或重新调谐的雷达信号。智能干扰机还可利用角度数据指向高增益干扰波束，以减少功率要求，同时保证雷达旁瓣穿透。

3.7.1.2 自屏蔽干扰（SSJ, Self-Screening Jammer）¶

噪声通常不适合用于自屏蔽干扰，因为雷达扫描干扰机主瓣时，会产生明显噪声脉冲（strobe），确保目标可被探测，即便没有单个雷达的距离信息，防御系统也可利用脉冲角度进行拦截（如使用“home-on-jam”导弹）。

一种噪声自屏蔽方法是覆盖脉冲干扰（cover-pulse jamming）[8, p.145; 9, p.227]：在受害雷达脉冲到达目标前，逐渐增加噪声功率，使雷达 CFAR 阈值（或 AGC 电平）提高，从而抑制目标回波；脉冲到达后降低功率。正确实施时，雷达操作员或自动检测电路可能无法识别干扰发生，避免产生干扰角度信息。该方法需要拦截雷达信号、测量 PRI，并以适当时机和持续时间发射噪声脉冲，适用于依赖多脉冲积分或几乎等间隔单脉冲扫描/多目标跟踪的雷达。

3.7.2 噪声干扰雷达方程¶

雷达方程可用于确定在特定干扰环境下的目标可探测范围，或求在给定范围下使目标无法探测所需干扰功率。

3.7.2.1 干扰机参数说明¶

噪声干扰机由以下参数表征：

$P_{j}$：干扰机发射功率（W）；
$G_{j}$：干扰机天线增益；
$Q_{j}$：干扰噪声质量因子；
$F_{j}$：干扰机—雷达路径模式传播因子；
$F_{p j}$：干扰机—雷达极化匹配因子；
$B_{j}$：噪声带宽（Hz）；
$L_{t j}$：干扰机传输线损耗；
$R_{j}$：干扰机到雷达距离（m）；
$L_{\alpha j}$：干扰机到雷达一程大气衰减；
$L_{\text{lens j}}$：干扰机到雷达一程透镜损耗。

干扰机有效辐射功率（ERP）为：

\[ \begin{equation*} \mathrm{ERP} = \frac{P_{j} G_{j}}{L_{t j}} \tag{3.71} \end{equation*} \]

ERP 是干扰机能力的粗略量度，但要进行定量评估，还需考虑其他参数。可定义考虑质量因子与极化匹配的有效辐射噪声功率（ERNP）：

\[ \begin{equation*} \mathrm{ERNP} = \frac{Q_{j} P_{j} G_{j} F_{p j}^{2}}{L_{t j}} \tag{3.72} \end{equation*} \]

$Q_{j}$ 描述干扰波形对目标探测的影响能力。理想情况下，干扰波形为覆盖雷达信号带宽 $B$ 的白噪声，$J_{0 e} = J_{0}$。
为减少体积与重量，最终功率放大器通常饱和工作，频率调制带宽 $B_{j} > B$ 用于模拟高斯噪声效果。有效噪声密度为 $Q_{j} J_{0}$，典型 $Q_{j}$ 值为 0.3–0.6（-5至-2 dB）。

干扰到雷达接收机的效应由 $G_{j} F_{j}^{2} G_{r} F_{r}^{2}$ 决定，其中 $F_{r}$ 为接收天线模式传播因子。旁瓣消除（SLC）或自适应阵列空洞可降低 $F_{r}$，理想情况下使干扰低于热噪声，实际实现通常降低 15–20 dB。

干扰极化因子 $F_{p j}$ 为接收电压与极化匹配天线电压比。为避免遇到对极化不敏感的雷达，干扰天线通常为圆极化或 ±45° 线极化。此时 $F_{p j}^{2} = 0.5 = -3$ dB。若已知雷达包括圆极化接收（如降雨抑制），使用 ±45° 线极化干扰可避免极化正交问题。

干扰带宽 $B_{j}$ 取决于任务要求：阻塞干扰通常为目标雷达频段中心频率的 5–10%，频点干扰略大于被拦截信号带宽 $B$ 以补偿测量误差。

干扰机一程大气衰减及透镜因子可按第7章方法计算，取雷达目标双程路径一半的 dB 值。

3.7.2.2 干扰对系统噪声的贡献¶

雷达天线端接收到的干扰功率密度为：

\[ \begin{equation*} J_{0} = \frac{P_{j} G_{j} G_{r} \lambda^{2} F_{p j}^{2} F_{j}^{2} F_{r}^{2} F_{\mathrm{lens} j}^{2}}{(4 \pi)^{2} R_{j}^{2} B_{j} L_{t j} L_{\alpha j}} \tag{3.73} \end{equation*} \]

干扰噪声质量因子 $Q_{j}$ 表示干扰波形相对白噪声干扰雷达探测的有效性。有效干扰功率密度为：

\[ \begin{equation*} J_{0 e} = Q_{j} J_{0} = \frac{Q_{j} P_{j} G_{j} G_{r} \lambda^{2} F_{p j}^{2} F_{j}^{2} F_{r}^{2} F_{\mathrm{lens} j}^{2}}{(4 \pi)^{2} R_{j}^{2} B_{j} L_{t j} L_{\alpha j}} \tag{3.74} \end{equation*} \]

该功率密度与其他干扰项一起代入 (3.2) 以评估雷达在热噪声环境下的探测距离。如果接收机输入仅存在热噪声和干扰噪声，则可将干扰表示为等效温度 $T_{j}$ [3, p. 29]：

\[ \begin{equation*} T_{j} = \frac{J_{0 e}}{k} = \frac{Q_{j} P_{j} G_{j} G_{r} \lambda^{2} F_{p j}^{2} F_{j}^{2} F_{r}^{2} F_{\mathrm{lens} j}^{2}}{(4 \pi)^{2} R_{j}^{2} k B_{j} L_{t j} L_{\alpha j}} \quad (\mathrm{K}) \tag{3.75} \end{equation*} \]

若存在多个干扰机 $i=1,2,\dots$，则雷达方程中的系统输入噪声 $T_{s}$ 替换为：

\[ \begin{equation*} T_{s}^{\prime} = T_{s} + \sum_{i} T_{j i} \quad (\mathrm{K}) \tag{3.76} \end{equation*} \]

在干扰存在情况下的最大探测距离记为 $R_{m j}$，可由 (1.26) 得出：

\[ \begin{equation*} R_{m j}^{4} = \frac{P_{a v} t_{f} G_{t} G_{r} \lambda^{2} \sigma F_{p}^{2} F_{t}^{2} F_{r}^{2} F_{\mathrm{lens}}^{2}}{(4 \pi)^{3} k T_{s}^{\prime} D_{x}(n^{\prime}) L_{t} L_{a}(R_{m j})} \quad (\mathrm{m}) \tag{3.77} \end{equation*} \]

该距离称为对抗噪声干扰的“穿透距离”（burnthrough range）。

3.7.3 噪声干扰实例¶

3.7.3.1 阻塞干扰（Barrage Jamming）¶

考虑表 3.3 所列阻塞干扰机参数，作用于雷达（表 3.1）$R_{j}=150$ km 范围内的多个受害雷达。目标 RCS 为 $1~\mathrm{m}^2$，无干扰时在 $R_{m}=93$ km 可探测（$P_d=50\%$，单次采样 SNR $D_x \approx 20$ dB）。欲使探测距离降至 $R_{m j}=40$ km，求所需干扰机数量。干扰通过雷达天线主瓣旁瓣，模式传播因子 $F_j=-25$ dB，未假设旁瓣消除。

表 3.3 阻塞干扰机示例

参数	数值	参数	数值
雷达频段	X-band	雷达可调带宽	500 MHz
干扰机发射功率 $P_j$	1 kW	干扰机天线增益 $G_j$	10 dB
干扰机传输损耗 $L_{t j}$	1 dB	干扰机 ERP	8 kW
噪声质量因子 $Q_j$	-2 dB	极化匹配因子 $F_{p j}^2$	-3 dB
干扰机 ERNP	2.5 kW	模式传播因子 $F_j^2$	-25 dB
干扰带宽 $B_j$	500 MHz	干扰机距离 $R_j$	100 km
大气损耗 $L_{\alpha j}$	0.8 dB	透镜因子 $F_{\text{lens j}}^2$	-0.1 dB
屏蔽距离 $R_{m j}$	40 km

第一步：由 (1.26) 计算为将探测距离从 $R_m=93$ km 降至 $R_{m j}=40$ km 所需的干扰温度：

\[ \begin{align*} T_j &= T_s' - T_s = T_s \left[ \left(\frac{R_m}{R_{m j}}\right)^4 \frac{L_{\alpha}(R_m)}{L_{\alpha}(R_{m j})} \frac{F_{\text{lens}}^2(R_{m j})}{F_{\text{lens}}^2(R_m)} - 1 \right] \tag{3.78} \\ &= 1,000~\mathrm{K} \left[ \left(\frac{93}{40}\right)^4 \frac{1.53}{1.23} \frac{0.98}{0.96} - 1 \right] = 3.5 \times 10^4~\mathrm{K} \end{align*} \]

即输入噪声温度 $T_s=1,000$ K 需增加 37 倍（15.5 dB）才能实现探测距离缩减。

单个干扰机产生的温度由 (3.75) 计算：

\[ \begin{aligned} T_{j1} &= \frac{Q_j P_j G_j G_r \lambda^2 F_{p j}^2 F_j^2 F_{\text{lens j}}^2}{(4\pi)^2 R_j^2 k B_j L_j L_{\alpha j}} \\ &= 10^4~\mathrm{K} \end{aligned} \]

因此需四台干扰机提供足够掩蔽。若干扰机由飞机携带、沿轨迹航行以保持屏蔽，则至少需五架飞机：四架保持屏蔽，一架执行 180° 转向以维持轨迹。由此可见，阻塞干扰多雷达系统所需功率和数量极高。

3.7.3.2 点式干扰（Spot Jamming）¶

基于周期性“窃听”的点式干扰是一种可行方案，因为前述例子中的受害雷达需要多脉冲积分才能检测目标。此时可使用表 3.3 的干扰机参数，但发射集中在几个窄带（例如每个 10 MHz），由窃听确定。如果有五个此类频带，总带宽 $B_j = 50~\mathrm{MHz}$（而非 500 MHz），干扰密度增加 10 倍：

\[ T_{j1} = 10^5~\mathrm{K} \]

单台 1 kW 干扰机即可实现 $R_{m j} \approx 31~\mathrm{km}$，或者功率 $P_j = 370~\mathrm{W}$ 就足够，前提是干扰机天线能够连续覆盖雷达所在的方位角扇区。

如果每个雷达采用频率多样性，干扰机必须覆盖多条频率带，点式干扰将变得困难，脉冲间频率敏捷迫使干扰回到阻塞干扰模式，但同时雷达无法实施 MTI。这显示出结合被动 ECM（如箔条）与主动干扰的优势，可迫使雷达使用可拦截的相干脉冲束，从而便于点式干扰。

3.7.3.3 自屏蔽噪声干扰（Self-Screening Noise Jamming）¶

在雷达主瓣轴线上（$F_j=1$）使用较低功率即可实现自屏蔽。例如，前述 1 kW 干扰机在主瓣的效果可由 3 W 干扰机功率实现。此时的穿透距离由特殊雷达方程给出：

\[ \begin{equation*} R_{b t}^{2} = \frac{P_{av} t_f G_t \sigma F_p^2 F_t^2 B_j L_j}{4 \pi Q_j P_j G_j F_{p j}^2 D_x(n') L_t} \tag{3.79} \end{equation*} \]

其中 $n'$ 为包络检测后积分的相干输出数，$B_j \ge B$。该方程由 (1.26) 推导而来，将 $T_s$ 替换为 (3.75) 中的 $T_j$，并设 $R_{bt} = R_{mj} = R_j$。

使用表 3.4 中的示例干扰机，自屏蔽情况下示例雷达的穿透距离为：

\[ R_{b t} = \left[ \frac{100 \times 0.01 \times 1.86 \times 10^4 \times 1.0 \times 1.0 \times 1.0 \times 500 \times 10^6 \times 1.26}{4 \pi \times 0.63 \times 1000 \times 10 \times 0.5 \times 6.3 \times 1.0} \right]^{1/2} = 1,720~\mathrm{m} \]

较小干扰机（$P_j=10~\mathrm{W}$，$G_j=3.2=5~\mathrm{dB}$）仍可实现穿透距离 31 km，足以应对示例雷达。此类范围是使用覆盖 500 MHz 的阻塞噪声干扰得到的。

上述计算也适用于使用覆盖脉冲技术的自屏蔽噪声干扰。$P_j$ 为干扰机达到全功率输出后的水平。典型情况下，每台雷达干扰的占空比约 10%，平均功率相应更低。此类干扰机会根据接收脉冲水平调整输出，以最小化产生干扰标记的概率。若采用数字 RF 存储器（DRFM）实现，噪声带宽也可限制在以雷达频率为中心的点式干扰，从而可以使用极低功率进一步降低干扰标记生成概率。

3.8 欺骗干扰（Deceptive Jamming）¶

在欺骗干扰（也称 DECM）中，发射信号被设计为模拟目标不存在的位置的雷达回波，旨在混淆雷达系统及其数据网络，或可能使数据处理器饱和，从而阻碍或防止对真实目标的可靠跟踪。欺骗干扰器主要有两类 [9, p. 86]：

转发器干扰机（Transponder jammers）：生成非相干回波，模拟实际雷达回波的时间特性。

重复器干扰机（Repeater jammers）：生成相干回波，尽量模拟实际雷达回波的幅度、频率及时间特性。

重复器干扰机已成为生成逼真合成目标的首选方法，可通过雷达处理器传入数据流。

此类干扰机包含窃听接收机、雷达波形存储器及调制发射机，可再生雷达波形，并施加时间延迟和多普勒偏移，对应虚假目标位置和速度。

欺骗干扰主要用于火控雷达，目的是阻止雷达锁定目标或打破已锁定目标。实现这些功能通常需要高干扰-信号比。其效果通常难以通过分析评估，需使用实际雷达与干扰设备或硬件模拟器进行测试。

当前技术使用 数字 RF 存储器（DRFM） 存储和再生雷达信号，可控制时间延迟和多普勒偏移，确保精度。随附的窃听接收机也采用数字实现 [10]。

重复器干扰的一个主要挑战是多雷达信号同时存在且时-频积大，非线性电路会在干扰输出中产生交叉产物。

3.8.1 欺骗干扰的距离方程¶

欺骗干扰器通过对雷达接收到的单脉冲做时间延迟、多普勒偏移或调制来工作，从而干扰雷达的正常操作或数据解释。适用的距离方程基于单脉冲峰值功率，而非 CPI（脉冲压缩时间）内的能量水平。

3.8.1.1 转发器（Transponder）方程¶

转发器用于在使用非相干积分（而非脉冲多普勒处理）的雷达中生成虚假目标。转发器响应由雷达脉冲触发，但由不与接收脉冲保持相位相干的 RF 源产生。转发器参数如下：

$G_j$：干扰机天线增益
$F_{pj}$：干扰机到雷达的极化因子
$F_j$：干扰机到雷达的模式传播因子
$F_{\text{lens }j}$：干扰机到雷达的单程透镜因子
$S_{\min j}$：转发器灵敏度（W）${}^{7}$
$P_j$：峰值响应功率（W）
$P_j$：峰值响应功率（W）
$L_j$：传输或接收线损
$L_{\alpha j}$：干扰机到雷达单程大气衰减

转发器规格通常给出切向灵敏度，对应平方律检测器输入的信噪比 +4 dB。为可靠触发，$S_{\min j}$ 应高出数 dB。接收机灵敏度常以 dBm（相对于 1 mW）表示。

假设天线增益、模式和线损在发射和接收时相同，响应脉宽与雷达发射相同。

对于 ERP $=P_t G_t / L_t$ 的雷达，触发转发器响应的范围为：

\[ R_{rt} = \left( \frac{P_t G_t G_j \lambda^2 F_{pj}^2 F_t^2 F_j^2 F_{\text{lens } j}^2}{(4 \pi)^2 S_{\min j} L_t L_j L_{\alpha j}} \right)^{1/2} \tag{3.80} \]

雷达检测该响应的范围为：

\[ R_{mt} = \left( \frac{P_j G_j G_r \lambda^2 F_{pj}^2 F_r^2 F_j^2 F_{\text{lens } j}^2}{(4 \pi)^2 S_{\min r} L_j L_{\alpha j}} \right)^{1/2} \tag{3.81} \]

其中 $S_{\min r}$ 是雷达单脉冲的最小信号功率，对应检测概率 $P_d$。为了可靠的转发器干扰，应取 $P_d = 90\%$。结合第 1 章雷达参数，有：

\[ S_{\min r} = \frac{k T_s D_0(n) M L_p L_x}{\tau} = \frac{k T_s D_x}{\tau} \frac{L_i}{n L_f} \tag{3.82} \]

其中 $D_0(n)$ 为非相干积分 $n$ 脉冲后的稳态单脉冲 SNR，$L_i, L_f, M, L_p, L_x$ 为 (1.26) 中确定 $D_x$ 的各损耗因子。

示例：雷达参数见表 3.1，发射 $1~\mu\mathrm{s}$ 脉冲，转发器参数见表 3.4。模式传播因子 $F_j^2 = -30~\mathrm{dB}$，允许在雷达旁瓣区域响应。灵敏度典型值来自低噪声 RF 放大器 + 平方律检测器 + 视频放大器配置。

表 3.4 示例转发器干扰机

雷达频段	X 波段	发射峰值功率 $P_j$	50 W
天线增益 $G_j$	10 dB	发射/接收损耗 $L_j$	1.0 dB
极化因子 $F_{pj}^2$	-3 dB	模式传播因子 $F_j^2$	-30 dB
大气损耗 $L_{\alpha j}$	0.9 dB	透镜因子 $F_{\text{lens } j}^2$	-0.1 dB
灵敏度 $S_{\min j}$	-70 dBm

使用 (3.80)-(3.82) 计算：

触发响应的范围：$R_{rt} = 366~\mathrm{km}$
雷达接收机灵敏度：$S_{\min r} = -100.6~\mathrm{dBm}$
检测响应的范围：$R_{mt} = 311~\mathrm{km}$

3.8.1.2 重发器（Repeater）方程¶

重发器与转发器的区别在于，它接收信号（天线增益 $G_j$），用电子增益 $G_e$ 放大后，通过天线增益 $G_j$ 重发，通常占空比 $D_u < 0.5$ 以避免自振。设计重发器是为了产生相当于雷达主瓣在距离 $R_j$ 看到的目标雷达截面积 $\sigma_e$ 的功率。

雷达截面可视作等效半径 $r$ 的球体，投影面积为 $\pi r^2$，散射为各向同性，因此 RCS 可表示为投影面积乘以各向同性增益 $G=1$：

\[ \sigma = A G = \pi r^2 \tag{3.83} \]

理想化重发器将接收的雷达脉冲（接收孔径 $A_e = G_r \lambda^2 / 4 \pi$）直接传递到发射天线 $G_j$，产生等效 RCS：

\[ \sigma_e = A_e G_t = \frac{G_r G_t \lambda^2}{4 \pi} \tag{3.84} \]

由此，指定 $\sigma_e$ 所需的理想化重发器增益为：

\[ G_{\text{rep}} = G_r G_t = \frac{4 \pi \sigma_e}{\lambda^2} \tag{3.85} \]

实际上，重发器天线太小无法提供此增益，因此通过电子放大 $G_e$ 增加增益，同时克服 RF 损耗 $L_{jr}$、$L_{jt}$，以及接收/发射路径的模式和极化因子 $F_{jr}, F_{jt}, F_{pjr}, F_{pjt}$。假设接收和发射增益、损耗相等，并使用占空比 $D_u$ 门控隔离收发器，所需电子增益为：

\[ G_e = \frac{4 \pi \sigma_e L}{\lambda^2 G_j^2 D_u^2} = \frac{4 \pi \sigma_e L_j^2}{\lambda^2 G_j^2 D_u^2 F_{pj}^4 F_j^4} \tag{3.86} \]

公式(3.86)的第二种形式将文献[8]中路径损耗$L$替换为中继器内部的双向射频损耗，以及双向极化特性和波束传播因子。引入$F_j^4$ 因子是基于以下假设：当接收中继器位于雷达主波束轴线之外（可能处于旁瓣区域）时，其功能是复现等效于轴上目标（雷达截面积σe）所产生的信号功率。

位于-30 dB旁瓣区域的伴随中继器（escort repeater），其参数与表3.4中转发器（transponder）示例一致，需要极大的电子增益：

\[ G_e = \frac{4 \pi \times 10 \times 1.58}{0.03^2 \times 10^2 \times 0.5^2 \times 0.001^2} = 8.86 \times 10^9 = +99.4~\mathrm{dB} \]

自保护重发器 ($F_j = 1$) 所需电子增益为 +39.5 dB（输入 -25.8 dBm，输出 +13.7 dBm）。增加占空比损耗可进一步提高增益。

注意，这些距离方程描述的是干扰机触发和接收欺骗信号所需条件，而非雷达目标检测范围的限制。

3.9 干扰环境下的检测总结¶

3.9.1 噪声干扰下的距离¶

噪声干扰用于掩蔽目标，通常由支援干扰机产生。计算步骤：

使用 (3.73) 计算干扰噪声密度 $J_0$。
应用噪声质量因子 $Q_j$，得到有效干扰密度 $J_{0e}$ (3.74)。
除以玻尔兹曼常数，得到等效干扰温度 $T_j$ (3.75)。
多干扰机时，将 $T_j$ 相加并加到系统温度 $T_s$，得到总输入噪声 $T_s'$ (3.76)。
将 $T_s'$ 代入 (1.26) 计算最大检测距离。

自屏蔽噪声干扰时，使用 (3.79) 计算燃穿距离替代上述步骤。

3.9.2 欺骗干扰方程¶

欺骗干扰所需的灵敏度、增益和输出功率见 (3.80)-(3.86)。雷达目标检测范围仅在干扰使操作员或自动系统分心时受到影响。

3.10 联合干扰下的检测¶

前述各节给出的距离方程适用于干扰与热噪声的组合。当同时存在杂波时，需要在目标检测所需的距离上，计算各干扰分量的有效谱密度，并将其相加以得到每个距离的有效总干扰水平 $I_{0e}$（见公式 3.2）。该水平随后替代 (1.26) 或类似最大检测距离方程中的 $N_0 = k T_s$。有效干扰谱密度的定义已考虑信号处理器的特性，因此无需对“处理增益”或文献中偶尔出现的其他因素进行额外调整。

然而，多种干扰同时存在时，对波形和处理方法的选择会施加额外约束。改善一种干扰环境下性能的措施，通常会增加对其他干扰的脆弱性。一个显著例子是主动干扰与雷达箔条（chaff）或自然杂波的组合：为了克服点干扰采用的频率敏捷方法，在存在任何类型的杂波或其模糊区的情况下不可行，因为用于杂波抑制的多普勒处理要求波形在相干处理间隔（CPI）内保持相干性。响应式干扰机可以在每个 CPI 初期测量信号特性，并对随后的脉冲作出响应以实现掩蔽。

另一个约束来自杂波在波形无模糊距离范围内和超出该范围时的存在。理论上，可以使用阶梯 PRI 波形消除多次绕行杂波，但实际中通常需要使用均匀 PRI 波形。相干处理必须在最远距离的杂波进入接收机之后才能开始。如果潜在目标频谱中存在盲速，则需要从一个脉冲组到下一个脉冲组采用 PRI 多样化，以填补盲区，这会增加所需停留时间。这对在严格时间预算内进行搜索扫描的扫描波束雷达尤其是一个负担。

不同环境下的波形和处理器要求将在第 9 章讨论。

参考文献¶

[1] IEEE Standard 100, The Authoritative Dictionary of IEEE Standards Terms, 7th ed., New York: IEEE Press, 2000.

[2] Barton, D. K., Radar System Analysis and Modeling, Norwood, MA: Artech House, 2005.

[3] Blake, L. V., Radar Range-Performance Analysis, Lexington, MA: D. C. Heath, 1980; Dedham, MA: Artech House, 1986.

[4] Barton, D. K. and H. R. Ward, Handbook of Radar Measurement, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1968; Dedham, MA: Artech House, 1984.

[5] Goldstein, H., "Sea Echo," Section 6.6, and "Meteorological Echoes," Chapter 7, in Propagation of Short Radio Waves, Vol. 13 in MIT Radiation Laboratory Series, New York: McGraw-Hill, 1951. Reprinted (CD ROM edition), Artech House, 1999.

[6] Doviak, R. J. and D. S. Zrnic, Doppler Radar and Weather Observations, 2nd ed., New York: Academic Press, 1993.

[7] Shrader, W. W. and V. Gregers-Hansen, "MTI Radar," Chap. 2 in Radar Handbook, 3rd ed., (M. I. Skolnik, ed.), New York: McGraw-Hill, 2008.

[8] Schleher, D. C., Introduction to Electronic Warfare, Dedham, MA: Artech House, 1986.

[9] Schleher, D. C., Electronic Warfare in the Information Age, Norwood, MA: Artech House, 1999.

平均功率 \(P_{a v}\)	100 W	相干处理时间 \(t_{f}\)	0.01s
波长 \(\lambda\)	0.03m	发射机线损 \(L_{t}\)	0 dB
天线增益 \(G\)	42.7 dB	波束宽度常数 \(K_{\theta}\)	1.2
孔径宽度、高度 \(w, h\)	1.5m	天线波束宽度 \(\theta_{a}, \theta_{\text {e }}\)	\(1.4^{\circ}\)
相位中心高度 \(h_{r}\)	12m	方向图常数 \(L_{n}\)	1.17
方向图传播因子 \(F\)	1.0	距离相关因子 \(F_{\text {rdr }}^{2}=F_{\text {lens }}^{2}\)	0.984
系统噪声温度	\(1,000 \mathrm{~K}\)	积分样本数 \(n^{\prime}\)	1.0
可检测性因子 \(D_{x}(1)\)	100	目标 RCS \(\sigma\)	\(1.0 \mathrm{~m}^{2}\)
衰减 \(L_{\alpha}\) （在 \(R_{m}\)）	1.76 dB	热噪声作用下探测距离 \(R_{m}\)	93.2 km
杂波反射率 \(\gamma\)	0.063	杂波极化因子 \(F_{c p}^{2}\)	1.0
表面粗糙度 \(\sigma_{h}\)	1.0m

雷达频段	X 波段	发射峰值功率 \(P_j\)	50 W
天线增益 \(G_j\)	10 dB	发射/接收损耗 \(L_j\)	1.0 dB
极化因子 \(F_{pj}^2\)	-3 dB	模式传播因子 \(F_j^2\)	-30 dB
大气损耗 \(L_{\alpha j}\)	0.9 dB	透镜因子 \(F_{\text{lens } j}^2\)	-0.1 dB
灵敏度 \(S_{\min j}\)	-70 dBm

第3章 杂波与干扰压制下的雷达方程¶