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第1章 引言

1.1 信号与系统

数学的范围非常广泛，涵盖了许多领域，例如：线性代数（linear algebra）、微积分（calculus）、概率与统计（probability and statistics）、几何（geometry）、微分方程（differential equations）以及数值方法（numerical methods）。然而，对工程师来说，一个特别重要的数学领域是与信号与系统（signals and systems）相关的部分（从广义上讲，这是数学的一个分支，被称为泛函分析（functional analysis））。这就是我们要讨论的事。

1.2 信号

信号（signal）是一个关于一个或多个变量的函数，它传递关于某种（通常是物理）现象的信息。信号的一些例子包括：

  • 人类的声音
  • 电子电路中的电压
  • 恒温器系统控制的房间温度
  • 飞机的位置、速度和加速度
  • 手机加速度计测得的加速度
  • 机器人系统中力传感器测得的力
  • 用于无线计算机网络传输信息的电磁波
  • 数字化的照片
  • 数字化的音乐录音
  • 股票市场指数随时间的演化

1.2.1 信号的分类

信号可以根据其所依赖的自变量数量进行分类。若信号仅是单个变量的函数，则称其为一维信号。同样，若信号是两个或更多变量的函数，则称其为多维信号。人类的语音就是一维信号的一个例子。在这种情况下，信号与空气压力随时间的波动相关。二维信号的一个例子是单色图像。在这种情况下，信号表示光强度随水平和垂直位置的函数。

信号还可以根据其是连续变量还是离散变量的函数来分类。若信号是连续变量（例如实数变量）的函数，则称其为连续时间信号（continuous-time signal, CT signal）。同样，若信号是离散变量（例如整数变量）的函数，则称其为离散时间信号（discrete-time signal, DT signal）。尽管自变量不一定表示时间，但为了方便，很多术语都是按时间来命名的。

图1.1：（a）连续时间信号和（b）离散时间信号的图形表示。

例如，数字图像（由像素的矩形阵列组成）通常被称为离散时间信号，即使其自变量（即水平和垂直位置）实际上并不对应于时间。

如果信号是离散变量的函数（即离散时间），并且函数的取值本身也是离散的，那么该信号称为数字信号（digital signal）。同样，如果信号是连续变量的函数，并且函数的取值本身也是连续的，则该信号称为模拟信号（analog signal）。

物理世界中的许多现象可以用连续时间信号来描述。连续时间信号的一些例子包括：电子电路中的电压或电流波形；心电图、语音和音乐录音；运动物体的位置、速度和加速度；机械系统中的力与力矩；以及化学过程中的液体或气体流量。任何由数字计算机（或其他数字设备）处理的信号本质上都是离散时间的。一些离散时间信号的例子包括数字视频、数字照片和数字音频数据。

离散时间信号可能是固有离散的，也可能是连续时间信号的采样版本。前者的一个例子是道琼斯工业平均指数股票市场指数（它仅在每日间隔上定义），而后者的一个例子是语音信号（连续时间）的采样版本。

1.2.2 信号的符号和图形表示

在离散时间信号的情况下，我们有时将信号称为序列（sequence）。序列 \(x\) 的第 \(n\) 个元素记作 \(x(n)\) 或 \(x_{n}\)。图1.1展示了连续时间信号和离散时间信号的图形表示方法。

1.2.3 信号的例子

前面已经提出了一些信号的例子。这里我们提供一些信号的图形表示以作说明。图1.2描绘了一个数字化语音信号。图1.3展示了一个单色图像的例子。在这种情况下，信号表示光强度随两个变量（即水平和垂直位置）的函数。

图1.2：数字化人类语音的片段。

图1.3：一个单色图像。

1.3 系统

系统是一个处理一个或多个输入信号以产生一个或多个输出信号的实体，如图1.4所示。这种实体在数学上由一个或多个方程的系统来表示。

在通信系统中，输入可能表示要发送的信息，而输出可能表示接收的信息。在机器人系统中，输入可能表示末端执行器（例如夹爪）的期望位置，而输出可能表示实际位置。

图1.4：具有一个或多个输入和一个或多个输出的系统。

图1.5：一个简单的RC网络。

1.3.1 系统的分类

系统可以根据其输入和输出的数量进行分类。仅有一个输入的系统称为单输入系统，而具有多个输入的系统称为多输入系统。同样，仅有一个输出的系统称为单输出系统，而具有多个输出的系统称为多输出系统。两类常见的系统是单输入单输出（SISO）和多输入多输出（MIMO）。

系统还可以根据其处理的信号类型进行分类。处理连续时间信号的系统称为连续时间系统。同样，处理离散时间信号的系统称为离散时间系统。能够同时处理连续时间和离散时间信号的系统有时称为混合系统（或采样数据系统）。同样，处理数字信号的系统称为数字系统，而处理模拟信号的系统称为模拟系统。如果系统与一维信号交互，该系统称为一维系统。同样，若系统处理多维信号，则称为多维系统。

1.3.2 系统的例子

系统可以以多种方式操作信号并发挥许多有用的作用。有时，系统用于从输入信号中提取信息。例如，在语音信号的情况下，系统可以用于执行说话人识别或语音识别。系统还可以分析心电图信号以检测心脏异常。放大和噪声抑制是系统可能提供的其他功能。

一个非常基本的系统是图1.5所示的电阻-电容（RC）网络。在这里，输入是源电压 \(v_{s}\)，输出是电容电压 \(v_{c}\)。

考虑图1.6所示的信号处理系统。图1.6(a)中的系统使用离散时间系统（如数字计算机）来处理连续时间信号。图1.6(b)中的系统使用连续时间系统（如模拟计算机）来处理离散时间信号。第一种类型的系统在当今世界中无处不在。

图1.6：信号处理系统。(a) 使用离散时间系统处理连续时间信号。(b) 使用连续时间系统处理离散时间信号。

考虑图1.7所示的通信系统。该系统在一个位置接收消息并在另一个位置再现该消息。在这种情况下，系统的输入是要发送的消息，而输出是对原始消息的估计。通常，我们希望接收端再现的消息尽可能接近发送端传输的原始消息。

图1.7：通信系统。

图1.8所示的一般形式的系统经常出现在控制应用中。在这种应用中，我们通常希望输出尽可能接近某个参考输入。例如，考虑一个机器人应用。参考输入可能表示末端执行器的期望位置，而输出表示实际位置。

图1.8：反馈控制系统。

1.4 为什么要学习信号与系统？

从前面的例子可以看出，许多实际应用中我们需要开发能够操作信号的系统。为了做到这一点，我们需要一个形式化的数学框架来研究这些系统。这样的框架既可以用于指导新系统的设计，也可以用于分析已有系统的行为。随着时间的推移，工程师设计的系统复杂性不断增长。如今，大多数实际应用中的系统都高度复杂。正因如此，一个指导系统设计的形式化数学框架至关重要。没有这样的框架，我们几乎无法期望所设计的系统能够按预期运行，并满足所有必要的规范。

1.5 本书概述

本书介绍了用于研究信号与系统的数学工具。尽管本书中考虑的大多数系统是SISO，但相关数学可以非常直接地推广到具有多个输入和/或多个输出的系统。然而，本书仅考虑一维情况，因为多维情况要复杂得多，超出了本书的范围。

本书其余部分的组织如下。第2章介绍了一些在连续时间和离散时间情况下都必需的数学基础。然后，第3,4,5,6,7章主要涵盖与连续时间相关的内容。接着，第8,9,10,11,12章主要涵盖与离散时间相关的内容。

关于连续时间信号与系统的内容包括以下部分：第3章比前面章节更深入地研究信号与系统，并介绍了一类特殊的系统，即（连续时间）线性时不变（LTI）系统。第4章深入研究连续时间LTI系统。最后，第5、6和7章分别介绍连续时间傅里叶级数、连续时间傅里叶变换和拉普拉斯变换，这些都是研究连续时间信号与系统的重要数学工具。

关于离散时间信号与系统的内容包括以下部分：第8章比前面章节更深入地研究离散时间信号与系统，并介绍了一类特殊的系统，即（离散时间）线性时不变（LTI）系统。第9章深入研究离散时间LTI系统。最后，第10、11和12章分别介绍离散时间傅里叶级数、离散时间傅里叶变换和z变换，这些都是研究离散时间信号与系统的重要数学工具。

本书还包括若干附录，涵盖与本书主体章节相关的补充材料。附录A回顾复分析。附录B介绍部分分式展开。附录C给出解微分方程的时域方法。附录D详细介绍MATLAB。附录E提供一些附加习题。附录F列出一些有用的数学公式。最后，附录G介绍了与本书相关的视频课程信息。