第3章 连续时间信号与系统

3.1 概述

在本章中，我们将更详细地研究连续时间信号与系统。

3.2 自变量的变换

在信号与系统的研究中，一个重要的概念是信号的变换。这里，我们介绍几种基本的信号变换。每一种变换都涉及对自变量的简单修改。

3.2.1 时间平移（移位）

我们首先考虑的信号变换称为时间平移。时间平移（也称为移位）将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ \begin{equation*} y(t)=x(t-b) \tag{3.1} \end{equation*} \]

其中 \(b\) 是实常数。换句话说，函数 \(y\) 是通过在 \(x(t)\) 的表达式中用 \(t-b\) 替换 \(t\) 得到的。从几何上看，变换 (3.1) 将函数 \(x\) 沿时间轴向左或向右平移，从而得到 \(y\)。若 \(b>0\)，则 \(y\) 相对于 \(x\) 向右平移（即在时间上延迟）；若 \(b<0\)，则 \(y\) 相对于 \(x\) 向左平移（即在时间上提前）。

时间平移的效果如图 3.1 所示。通过对图 3.1(a) 所示的函数 \(x\) 应用时间平移变换，可以得到图 3.1(b) 和 (c) 所示的函数。

图 3.1：时间平移的示例。(a) 函数 \(x\)；以及对 \(x\) 施加平移变换后，移位 (b) +1 和 (c) -1 的结果。

3.2.2 时间反转（对称）

接下来我们考虑的信号变换称为时间反转。时间反转（也称为对称）将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ \begin{equation*} y(t)=x(-t) . \tag{3.2} \end{equation*} \]

换句话说，函数 \(y\) 是通过在 \(x(t)\) 的表达式中用 \(-t\) 替换 \(t\) 得到的。从几何上看，变换 (3.2) 将函数 \(x\) 关于原点对称，从而得到 \(y\)。

为了说明时间反转的效果，图 3.2 给出了一个示例。将时间反转变换应用于图 3.2(a) 中的函数 \(x\)，可以得到图 3.2(b) 中的函数。

图 3.2：时间反转的示例。(a) 函数 \(x\)；以及 (b) 对 \(x\) 施加时间反转变换的结果。

图 3.3：时间压缩/扩展的示例。(a) 函数 \(x\)；以及对 \(x\) 施加压缩/扩展变换后，缩放因子分别为 (b) 2 和 (c) \(\frac{1}{2}\) 的结果。

3.2.3 时间压缩/扩展（伸缩）

接下来要考虑的变换称为时间压缩/扩展。时间压缩/扩展（也称为伸缩）将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ \begin{equation*} y(t)=x(a t), \tag{3.3} \end{equation*} \]

其中 \(a\) 是严格正的实常数。换句话说，函数 \(y\) 是通过在 \(x(t)\) 的表达式中用 \(at\) 替换 \(t\) 得到的。常数 \(a\) 称为缩放因子。变换 (3.3) 与沿时间轴的压缩/扩展相关。若 \(a>1\)，则 \(y\) 相对于 \(x\) 沿横轴压缩，压缩因子为 \(a\)；若 \(a<1\)，则 \(y\) 相对于 \(x\) 沿横轴扩展（即拉伸），扩展因子为 \(\frac{1}{a}\)。

时间压缩/扩展的效果如图 3.3 所示。通过对图 3.3(a) 中的函数 \(x\) 应用时间压缩/扩展变换，可以得到图 3.3(b) 和 (c) 所示的函数。

3.2.4 时间缩放（伸缩/对称）

另一种信号变换称为时间缩放。时间缩放将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ \begin{equation*} y(t)=x(a t), \tag{3.4} \end{equation*} \]

其中 \(a\) 是非零实常数。换句话说，函数 \(y\) 是通过在 \(x(t)\) 的表达式中用 \(at\) 替换 \(t\) 得到的。量 \(a\) 称为缩放因子。从几何角度来看，变换 (3.4) 与沿时间轴的压缩/扩展以及/或者关于原点的对称相关。若 \(|a|<1\)，则函数沿时间轴扩展（即拉伸）；若 \(|a|>1\)，则函数被压缩；若 \(|a|=1\)，则函数既不扩展也不压缩。最后，若 \(a<0\)，则函数关于原点对称。可以看到，时间缩放同时包含了时间压缩/扩展和时间反转作为特例。

图 3.4：时间缩放的示例。(a) 函数 \(x\)；以及对 \(x\) 施加时间缩放变换后，缩放因子为 (b) 2、(c) \(\frac{1}{2}\) 和 (d) -1 的结果。

为了说明时间缩放的作用，图 3.4 给出了一个示例。通过对图 3.4(a) 中的函数 \(x\) 应用时间缩放变换，可以得到图 3.4(b)、(c) 和 (d) 所示的函数。

3.2.5 时间平移与时间缩放的结合

在前面的章节中，我们介绍了时间平移和时间缩放两种变换。此外，我们注意到时间缩放包含了时间压缩/扩展和时间反转作为特例。一些自变量变换是可交换的，而另一些则不可交换。交换性的问题在处理涉及组合变换的表达式简化或推导时非常重要。时间缩放、时间反转和时间压缩/扩展运算是可交换的；而时间平移（带非零移位量）与时间缩放、时间反转和时间压缩/扩展运算则不可交换。

现在，我们引入一种更一般的变换，它结合了时间平移与时间缩放的效果。这种新变换将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ \begin{equation*} y(t)=x(a t-b), \tag{3.5} \end{equation*} \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 是实常数，且 \(a \neq 0\)。换句话说，函数 \(y\) 是通过在 \(x(t)\) 的表达式中用 \(at-b\) 替换 \(t\) 得到的。可以证明，变换 (3.5) 等价于先将 \(x\) 平移 \(b\)，然后对所得函数进行时间缩放 \(a\)。从几何上看，该变换保持了 \(x\) 的形状，仅在时间轴上可能出现扩展/压缩和/或关于原点的对称。若 \(|a|<1\)，函数在时间轴上被拉伸；若 \(|a|>1\)，函数被压缩；若 \(a<0\)，函数关于原点对称。

上述变换有两种不同但等价的解释，即它等价于以下两种方式之一：

1. 先将 \(x\) 平移 \(b\)，再对结果进行时间缩放 \(a\)；
2. 先将 \(x\) 缩放 \(a\)，再对结果平移 \(\frac{b}{a}\)。

图 3.5：时间平移与时间缩放组合变换的两种不同解释。(a) 原始函数。先平移再缩放的结果：(b) 中间结果，(c) 最终结果。先缩放再平移的结果：(d) 中间结果，(e) 最终结果。

注意到，两种解释中的移位量不同（即 \(b\) 与 \(\frac{b}{a}\)）。这是由于时间平移和时间缩放不可交换的事实所导致的。关于上述两种解释等价性的证明留作习题 3.3。

例 3.1 为了说明该组合变换的两种等价解释，我们考虑一个简单的示例。设图 3.5(a) 所示的函数为 \(x\)。我们要求变换后的函数 \(y(t)=x(at-b)\)，其中 \(a=2\)，\(b=1\)。

解： 首先考虑“先平移后缩放”的方法。在这种情况下，我们先将函数 \(x\) 平移 \(b\)（即 1），得到图 3.5(b) 所示的函数。然后将该新函数按 \(a\)（即 2）缩放，从而得到图 3.5(c) 所示的 \(y\)。其次考虑“先缩放后平移”的方法。在这种情况下，我们先将函数 \(x\) 按 \(a\)（即 2）缩放，得到图 3.5(d) 所示的函数。然后将该新函数平移 \(\frac{b}{a}\)（即 \(\frac{1}{2}\)），从而得到图 3.5(e) 所示的 \(y\)。

3.2.6 关于自变量变换的两种视角

自变量的变换可以从以下两个角度来看待：

1. 该变换对函数的影响；
2. 该变换对横轴的影响。

这种区分很重要，因为此类变换对函数和横轴的作用是相反的。例如，在 \(x(t)\) 的表达式中用 \(t-b\)（其中 \(b\) 是实数）替换 \(t\) 的时间平移变换，可以理解为：

1. 将函数 \(x\) 向右平移 \(b\) 个单位；
2. 将横轴向左平移 \(b\) 个单位。

图 3.6：幅度平移的示例。(a) 函数 \(x\)；以及对 \(x\) 施加幅度平移变换（平移量为 -2）后得到的结果。

在我们对自变量变换的研究中，我们只关注变换对函数的影响。如果不注意这一点，而是从坐标轴的角度来理解，那么关于自变量变换的许多方面将会变得难以理解。

3.3 因变量的变换

在前面的章节中，我们研究了若干自变量的变换。现在，我们来考虑一些因变量的变换。

3.3.1 幅度平移

我们首先考虑的变换称为幅度平移。幅度平移将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ y(t)=x(t)+b \]

其中 \(b\) 是一个标量常数。从几何上看，函数 \(y\) 相对于 \(x\) 在竖直方向上发生位移。若 \(b>0\)，则 \(y\) 相对于 \(x\) 向上平移 \(|b|\)；若 \(b<0\)，则 \(y\) 相对于 \(x\) 向下平移 \(|b|\)。

幅度平移的效果如图 3.6 所示。图 3.6(b) 中的函数可以通过对图 3.6(a) 所示的函数 \(x\) 施加幅度平移变换得到。

3.3.2 幅度缩放

接下来我们考虑的变换称为幅度缩放。幅度缩放将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ y(t)=a x(t), \]

其中 \(a\) 是一个标量常数。从几何上看，函数 \(y\) 相对于 \(x\) 在幅度上被放大/压缩，和/或关于横轴对称。

为了说明幅度缩放的效果，图 3.7 给出了一个示例。通过对图 3.7(a) 中的函数 \(x\) 施加幅度缩放变换，可以得到图 3.7(b)、(c) 和 (d) 所示的函数。

图 3.7：幅度缩放的示例。(a) 函数 \(x\)；以及对 \(x\) 施加幅度缩放变换后，缩放因子为 (b) 2、(c) \(\frac{1}{2}\) 和 (d) -2 的结果。

3.3.3 幅度平移与缩放的结合

在前面的章节中，我们分别讨论了幅度平移与幅度缩放两种变换。我们可以定义一种新的变换，它结合了幅度平移与幅度缩放的效果。该变换将函数 \(x\) 映射为函数 \(y\)，其定义为

\[ \begin{equation*} y(t)=a x(t)+b \tag{3.6} \end{equation*} \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 是标量常数。可以证明，这一变换等价于先将 \(x\) 按 \(a\) 缩放，然后将所得函数平移 \(b\)。此外，由于 (3.6) 可以改写为$$ y(t)=a\left[x(t)+\frac{b}{a}\right],$$因此，该变换也等价于先将 \(x\) 平移 \(\frac{b}{a}\)，再将所得函数按 \(a\) 缩放。

3.4 函数的性质

函数可能具有许多有趣的性质。接下来，我们将更详细地研究对称性与周期性（前面已介绍过）。此外，我们还将介绍若干其他函数性质。这些性质在信号与系统的分析中非常有用。

3.4.1 关于对称性的说明

在此我们对偶函数与奇函数（已在前面介绍过）作一些补充说明。由于函数常常需要相加或相乘，人们可能会关心这些运算下函数的偶/奇对称性会发生什么变化。下面给出一些相关结论。

偶函数与奇函数的和具有以下性质：

• 两个偶函数的和仍为偶函数；
• 两个奇函数的和仍为奇函数；
• 一个偶函数与一个奇函数的和既不是偶函数也不是奇函数，前提是这两个函数不恒为零。

偶函数与奇函数的积具有以下性质：

• 两个偶函数的积为偶函数；
• 两个奇函数的积为偶函数；
• 一个偶函数与一个奇函数的积为奇函数。

（上述关于和与积的性质的证明，留作习题 3.10。）

事实证明，任意函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和，如下面的定理所述。

定理 3.1 （函数的偶/奇分解）
任意函数 \(x\) 都可以唯一地表示为如下形式的和：

\[ \begin{equation*} x(t)=x_{\mathrm{e}}(t)+x_{\mathrm{o}}(t) \tag{3.7} \end{equation*} \]

其中 \(x_{\mathrm{e}}\) 和 \(x_{\mathrm{o}}\) 分别为偶函数与奇函数，并由下式给出：

\[ \begin{gather*} x_{\mathrm{e}}(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)] \quad \text { and } \tag{3.8}\\ x_{\mathrm{o}}(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] \tag{3.9} \end{gather*} \]

在术语上，\(x_{\mathrm{e}}\) 称为 \(x\) 的偶部，记作 \(\operatorname{Even}\{x\}\)；\(x_{\mathrm{o}}\) 称为 \(x\) 的奇部，记作 \(\operatorname{Odd}\{x\}\)。

证明。 根据 (3.8) 与 (3.9)，我们容易验证 \(x_{\mathrm{e}}+x_{\mathrm{o}}=x\)，如下所示：

\[ \begin{aligned} x_{\mathrm{e}}(t)+x_{\mathrm{o}}(t) & =\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]+\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] \\ & =\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(-t)+\frac{1}{2}x(t)-\frac{1}{2}x(-t) \\ & =x(t) \end{aligned} \]

此外，我们可以容易验证 \(x_{\mathrm{e}}\) 是偶函数，而 \(x_{\mathrm{o}}\) 是奇函数。由 (3.8) 中 \(x_{\mathrm{e}}\) 的定义可得：

\[ \begin{aligned} x_{\mathrm{e}}(-t) & =\frac{1}{2}[x(-t)+x(-[-t])] \\ & =\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)] \\ & =x_{\mathrm{e}}(t) \end{aligned} \]

因此，\(x_{\mathrm{e}}\) 是偶函数。由 (3.9) 中 \(x_{\mathrm{o}}\) 的定义可得：

\[ \begin{aligned} x_{\mathrm{o}}(-t) & =\frac{1}{2}[x(-t)-x(-[-t])] \\ & =\frac{1}{2}[-x(t)+x(-t)] \\ & =-x_{\mathrm{o}}(t) \end{aligned} \]

因此，\(x_{\mathrm{o}}\) 是奇函数。

最后，我们证明 \(x\) 分解为偶函数与奇函数之和是唯一的。假设 \(x\) 可以用两种方式写作偶函数与奇函数之和：

\[ \begin{gather*} x(t)=f_{\mathrm{e}}(t)+f_{\mathrm{o}}(t) \quad \text { and } \tag{3.10a}\\ x(t)=g_{\mathrm{e}}(t)+g_{\mathrm{o}}(t) \tag{3.10b} \end{gather*} \]

其中 \(f_{\mathrm{e}}\) 与 \(g_{\mathrm{e}}\) 为偶函数，\(f_{\mathrm{o}}\) 与 \(g_{\mathrm{o}}\) 为奇函数。将两式相等得：

\[ f_{\mathrm{e}}(t)+f_{\mathrm{o}}(t)=g_{\mathrm{e}}(t)+g_{\mathrm{o}}(t) . \]

整理得：

\[ f_{\mathrm{e}}(t)-g_{\mathrm{e}}(t)=g_{\mathrm{o}}(t)-f_{\mathrm{o}}(t) . \]

仔细观察上式。由于偶函数之差仍为偶函数，奇函数之差仍为奇函数，所以该式左右两边分别对应偶函数与奇函数。因此，偶函数 \(f_{\mathrm{e}}(t)-g_{\mathrm{e}}(t)\) 等于奇函数 \(g_{\mathrm{o}}(t)-f_{\mathrm{o}}(t)\)。然而，唯一既是偶函数又是奇函数的函数是零函数。（对此事实的证明留作习题 3.16。）因此有：

\[ f_{\mathrm{e}}(t)-g_{\mathrm{e}}(t)=g_{\mathrm{o}}(t)-f_{\mathrm{o}}(t)=0 . \]

换言之：

\[ f_{\mathrm{e}}(t)=g_{\mathrm{e}}(t) \quad \text { 且 } \quad f_{\mathrm{o}}(t)=g_{\mathrm{o}}(t) . \]

这说明 (3.10a) 与 (3.10b) 所给出的 \(x\) 的两种分解实际上是相同的（即它们不能不同）。因此，\(x\) 分解为偶函数与奇函数之和是唯一的。

3.4.2 关于周期性的说明

由于我们经常需要对函数进行相加操作，因此了解周期函数的和是否仍然是周期函数是有帮助的。接下来我们将讨论这一问题，但在此之前，我们需要先引入最小公倍数的概念。

两个严格正实数 \(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 的最小公倍数（记作 \(\operatorname{lcm}(a_{1}, a_{2})\)）是既是 \(a_{1}\) 又是 \(a_{2}\) 的整数倍的最小正实数。例如，\(\operatorname{lcm}(6\pi, 10\pi)=30\pi\)，因为 \(30\pi\) 是可以被 \(6\pi\) 和 \(10\pi\) 整除的最小正实数。更一般地，正实数集合 \(\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\}\) 的最小公倍数，记作 \(\operatorname{lcm}\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\}\)，是每个 \(a_{k}(k=1,2,\ldots,N)\) 的整数倍的最小正实数。

引入最小公倍数的概念后，我们就可以讨论两个周期函数的和是否仍然是周期函数。下面的定理对此有重要启示。

定理 3.2 （周期函数的和）
设 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 是两个（连续的）周期函数，其周期分别为 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\)。则 \(x=x_{1}+x_{2}\) 是周期函数，当且仅当比值 \(T_{1}/T_{2}\) 是有理数（即两个整数的商）。若 \(x\) 是周期函数，且 \(T_{1}/T_{2}=q/r\)，其中 \(q\) 和 \(r\) 是互素整数，则 \(x\) 的周期 $ T=\operatorname{lcm}(T_{1},T_{2})=rT_{1}=qT_{2}. $

证明。 我们仅给出部分证明。假设 \(x\) 是周期函数，需证明它的周期为 \(T\)。由于 \(x\) 是周期函数，所以 \(T=\operatorname{lcm}(T_{1},T_{2})\) 必然存在。因为 \(T\) 是 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\) 的整数倍，所以可写作 \(T=k_{1}T_{1}=k_{2}T_{2}\)，其中 \(k_{1}\) 和 \(k_{2}\) 为正整数。于是有

\[ \begin{aligned} x(t+T) & =x_{1}(t+T)+x_{2}(t+T) \\ & =x_{1}(t+k_{1}T_{1})+x_{2}(t+k_{2}T_{2}) \\ & =x_{1}(t)+x_{2}(t) \\ & =x(t) \end{aligned} \]

因此，\(x\) 是周期为 \(T\) 的周期函数。

顺带提及，上述结果可以推广到 \(N\) 个周期函数的情形。若 \(N\) 个周期函数 \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{N}\) 的周期分别为 \(T_{1},T_{2},\ldots,T_{N}\)，则它们的和是周期函数，当且仅当各周期的比值为有理数（即 \(T_{1}/T_{k}\) 对 \(k=2,3,\ldots,N\) 都是有理数）。若和函数是周期函数，则其基波周期为 $ \operatorname{lcm}{T_{1},T_{2},\ldots,T_{N}}. $

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例 3.2. 设 \(x_{1}(t)=\sin(\pi t)\)，\(x_{2}(t)=\sin t\)。判断 \(y=x_{1}+x_{2}\) 是否为周期函数。

解。 设 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 的基波周期分别为 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\)。则有

\[ T_{1}=\frac{2\pi}{\pi}=2, \quad T_{2}=\frac{2\pi}{1}=2\pi \]

这里用到了 \(\sin(\alpha t)\) 的基波周期为 \(\frac{2\pi}{|\alpha|}\) 的事实。因此

\[ \frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{2}{2\pi}=\frac{1}{\pi} \]

由于 \(\pi\) 是无理数，\(\frac{T_{1}}{T_{2}}\) 不是有理数。因此，\(y\) 不是周期函数。

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例 3.3. 设 \(x_{1}(t)=\cos\left(2\pi t+\frac{\pi}{4}\right)\)，\(x_{2}(t)=\sin(7\pi t)\)。判断 \(y=x_{1}+x_{2}\) 是否为周期函数，若是，求其基波周期。

解。 设 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 的基波周期分别为 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\)。则有

\[ T_{1}=\frac{2\pi}{2\pi}=1, \quad T_{2}=\frac{2\pi}{7\pi}=\frac{2}{7} \]

取比值得

\[ \frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{7}{2} \]

由于 \(\frac{T_{1}}{T_{2}}\) 是有理数，\(y\) 是周期函数。设 \(T\) 为 \(y\) 的基波周期。由于 7 与 2 互素，

\[ T=2T_{1}=7T_{2}=2 \]

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例 3.4. 设 \(x_{1}(t)=\cos(6\pi t)\)，\(x_{2}(t)=\sin(30\pi t)\)。判断 \(y=x_{1}+x_{2}\) 是否为周期函数，若是，求其基波周期。

解。 设 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 的基波周期分别为 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\)。则有

\[ T_{1}=\frac{2\pi}{6\pi}=\frac{1}{3}, \quad T_{2}=\frac{2\pi}{30\pi}=\frac{1}{15} \]

因此

\[ \frac{T_{1}}{T_{2}}=\left(\frac{1}{3}\right)\bigg/\left(\frac{1}{15}\right)=\frac{15}{3}=\frac{5}{1} \]

由于 \(\frac{T_{1}}{T_{2}}\) 是有理数，\(y\) 是周期函数。设 \(T\) 为 \(y\) 的基波周期。由于 5 与 1 互素，有

\[ T=1T_{1}=5T_{2}=\frac{1}{3} \]

3.4.3 函数的支集（Support）

我们可以根据函数在何种区间上取非零值来对其进行分类。这通常被称为函数的支集（support）。下面介绍一些与函数支集相关的术语。

若存在某个（有限的）实常数 \(t_{0}\)，使得

\[ x(t)=0 \quad \text{ 对所有 } t>t_{0}, \]

则称函数 \(x\) 为左边函数（left sided）。换句话说，在某一点的右侧，函数恒为零。

若存在某个（有限的）实常数 \(t_{0}\)，使得

\[ x(t)=0 \quad \text{ 对所有 } t<t_{0}, \]

则称函数 \(x\) 为右边函数（right sided）。换句话说，在某一点的左侧，函数恒为零。

一个函数如果既是左边函数又是右边函数，则称为时限函数（time limited 或 finite duration）。如果一个函数既不是左边函数也不是右边函数，则称为双边函数（two sided）。注意，每个函数都恰好属于以下四类之一：左边但非右边，右边但非左边，时限，或双边。图 3.8 展示了这四类函数的示例。

若函数 \(x\) 满足

\[ x(t)=0 \quad \text{ 对所有 } t<0, \]

则称 \(x\) 为因果函数（causal function）。因果函数是右边函数的一种特殊情况。类似地，若函数 \(x\) 满足

\[ x(t)=0 \quad \text{ 对所有 } t>0, \]

则称 \(x\) 为反因果函数（anticausal function）。反因果函数是左边函数的一种特殊情况。

需要注意的是，当“因果（causal）”和“反因果（anticausal）”用来描述函数时，它们与通常的因果关系（cause and effect）没有任何联系。从这个角度看，这样的命名或许并不是最恰当的。

图 3.8：具有不同边界性质的函数示例。(a) 左边但非右边，(b) 右边但非左边，(c) 时限，(d) 双边。

3.4.4 有界函数

若存在某个（有限的）非负实常数 \(A\)，使得

\[ |x(t)| \leq A \quad \text{ 对所有 } t \]

则称函数 \(x\) 为有界函数（bounded function）（即 \(x(t)\) 对所有 \(t\) 都是有限的）。例如，正弦函数和余弦函数是有界的，因为

\[ |\sin t| \leq 1 \quad \text{ 对所有 } t, \quad |\cos t| \leq 1 \quad \text{ 对所有 } t. \]

相比之下，正切函数以及任何非常数多项式函数 \(p\)（例如 \(p(t)=t^2\)）是无界函数（unbounded），因为

\[ \lim_{t \to \pi/2} |\tan t| = \infty, \quad \text{且} \quad \lim_{|t| \to \infty} |p(t)| = \infty. \]

3.4.5 信号的能量与功率

函数 \(x\) 所含的能量 \(E\) 定义为

\[ E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt \]

在术语上，若函数 \(x\) 的能量有限，则称其为能量信号（energy signal）。

函数 \(x\) 所含的平均功率 \(P\) 定义为

\[ P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \, dt \]

在术语上，若函数 \(x\) 的平均功率有限且非零，则称其为功率信号（power signal）。

3.4.6 示例

下面给出几个使用信号性质的示例。

例 3.5. 设函数 \(x\) 具有如下性质：

\[ \begin{gathered} v(t)=x(t-3) \text{ 是因果的；} \\ x \text{ 是奇函数} \end{gathered} \]

求 \(x(t)\) 必须为零的 \(t\) 值。

解。 由于 \(v\) 是因果函数，我们知道 \(v(t)=0\) 对所有 \(t<0\) 成立。因为 \(v(t)=x(t-3)\)，所以

\[ x(t)=0 \quad \text{ 对 } t<-3 \text{ 成立。} \tag{3.11} \]

由于 \(x\) 是奇函数，我们有

\[ x(t)=-x(-t) \quad \text{ 对所有 } t \text{ 成立。} \tag{3.12} \]

由 (3.11) 和 (3.12) 得到 \(-x(-t)=0\) 对 \(t<-3\) 成立，从而

\[ x(t)=0 \quad \text{ 对 } t>3 \text{ 成立。} \tag{3.13} \]

将 \(t=0\) 代入 (3.12) 得 \(x(0)=-x(0)\)，因此

\[ x(0)=0 \tag{3.14} \]

结合 (3.11)、(3.13) 和 (3.14)，我们得出 \(x(t)\) 必须为零的 \(t\) 值为

\[ t<-3, \quad t>3, \quad \text{或} \quad t=0 \]

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例 3.6. 考虑函数 \(x\) 具有如下性质：

• \(x(t)=t+5\) 对 \(-5 \le t \le -3\)；
• \(v_1(t)=x(t-5)\) 是因果的；
• \(v_2(t)=x(t-3)\) 是偶函数。

求 \(x(t)\) 对所有 \(t\) 的表达式。

解。 由于 \(v_1(t)=x(t-5)\) 是因果函数，有

\[ \begin{aligned} & v_{1}(t)=0 \text { for } t<0 \\ \Rightarrow & x(t-5)=0 \text { for } t<0 \\ \Rightarrow & x([t+5]-5)=0 \text { for }(t+5)<0 \\ \Rightarrow & x(t)=0 \text { for } t<-5 \end{aligned} \]

结合 \(x(t)=t+5\) 对 \(-5 \le t \le -3\)，得到

\[ x(t)= \begin{cases} t+5 & -5 \le t \le -3 \\[2mm] 0 & t<-5 \end{cases} \tag{3.15} \]

接下来只需确定 \(t>-3\) 时的 \(x(t)\)。由于 \(v_2(t)=x(t-3)\) 是偶函数，有

\[ \begin{aligned} & v_2(t)=v_2(-t) \\ \Rightarrow & x(t-3)=x(-t-3) \\ \Rightarrow & x([t+3]-3)=x(-[t+3]-3) \\ \Rightarrow & x(t)=x(-t-6) \end{aligned} \]

结合 (3.15)，得到

\[ \begin{aligned} x(t) & =x(-t-6) \\ & = \begin{cases}(-t-6)+5 & -5 \leq-t-6 \leq-3 \\ 0 & -t-6<-5\end{cases} \\ & = \begin{cases}-t-1 & 1 \leq-t \leq 3 \\ 0 & -t<1\end{cases} \\ & = \begin{cases}-t-1 & -3 \leq t \leq-1 \\ 0 & t>-1 .\end{cases} \end{aligned} \]

因此，我们得到 \(x(t)\) 的完整表达式为

\[ x(t)= \begin{cases} 0 & t<-5 \\ t+5 & -5 \le t<-3 \\ -t-1 & -3 \le t<-1 \\ 0 & t \ge -1 \end{cases} \]

图 3.9 给出了 \(x\) 的示意图。

图 3.9：例 3.6 中的函数 \(x\)。

3.5 基本函数

在信号与系统的研究中，有一些基本信号特别有用。以下内容将介绍其中对我们目的最有益的一些。

3.5.1 实正弦函数

一个重要的函数类是实正弦函数。实正弦函数 \(x\) 的一般形式为

\[ x(t)=A \cos (\omega t+\theta), \]

其中 \(A, \omega\) 和 \(\theta\) 为实常数。此类函数是周期性的，其基本周期为 \(T=\frac{2 \pi}{|\omega|}\)，其图像类似于图 3.10 所示。

图 3.10：实正弦函数。

3.5.2 复指数函数

另一个重要的函数类是复指数函数。复指数函数 \(x\) 的一般形式为

\[ \begin{equation*} x(t)=A e^{\lambda t}, \tag{3.16} \end{equation*} \]

其中 \(A\) 和 \(\lambda\) 为复常数。复指数函数在系统理论中具有基础性的重要性，同时也为表示许多其他类函数提供了方便的手段。复指数函数可以根据其参数 \(A\) 和 \(\lambda\) 的取值表现出多种不同的行为模式。以下内容将探讨复指数函数的一些特殊情况，以及一般情况。

3.5.2.1 实指数函数

首先考虑复指数函数的一个特殊情况——实指数函数。在实指数函数的情况下，我们将式 (3.16) 中的 \(A\) 和 \(\lambda\) 限制为实数。实指数函数可以根据 \(\lambda\) 的取值表现出三种不同的行为模式，如图 3.11 所示。如果 \(\lambda>0\)，则 \(x(t)\) 随着 \(t\) 的增加呈指数增长（即增长型指数函数）。如果 \(\lambda<0\)，则 \(x(t)\) 随着 \(t\) 的增加呈指数衰减（即衰减型或阻尼型指数函数）。如果 \(\lambda=0\)，则 \(x(t)\) 在所有 \(t\) 上恒等于常数 \(A\)。

图 3.11：实指数函数的情况 (a) \(\lambda>0\)，(b) \(\lambda=0\)，以及 (c) \(\lambda<0\)。

3.5.2.2 复正弦函数

复指数函数的第二个特殊情况是复正弦函数。在复正弦函数的情况下，式 (3.16) 中的参数满足 \(A\) 为复数且 \(\lambda\) 为纯虚数（即 \(\operatorname{Re}(\lambda)=0\)）。为了方便，我们将 \(A\) 用极坐标形式表示，将 \(\lambda\) 用笛卡尔形式表示如下：

\[ A=|A| e^{j \theta} \quad \text { 且 } \quad \lambda=j \omega, \]

其中 \(\theta\) 和 \(\omega\) 为实常数。利用欧拉公式 (A.4)，我们可以将 (3.16) 重写为

\[ \begin{aligned} x(t) & =A e^{\lambda t} \\ & =|A| e^{j \theta} e^{j \omega t} \\ & =|A| e^{j(\omega t+\theta)} \\ & =|A| \cos (\omega t+\theta)+j|A| \sin (\omega t+\theta) \end{aligned} \]

从上述公式可以看出，\(x\) 的实部和虚部都是周期性的，其基本周期为 \(\frac{2 \pi}{|\omega|}\)。进一步，由此我们可以推导出 \(x\) 本身也是周期性的，其基本周期同样为 \(\frac{2 \pi}{|\omega|}\)。为了说明复正弦函数的形式，我们在图 3.12 中绘制了其实部和虚部。实部和虚部除了相位差外是相同的。

复正弦函数 \(x(t)=e^{j \omega t}\) 在 \(\omega\) 分别取 \(2 \pi\) 和 \(-2 \pi\) 时的图像如图 3.13(a) 和 (b) 所示。从这些图中可以看出，随着 \(t\) 增加，\(x(t)\) 描绘的曲线呈螺旋状。如果沿着 \(t\) 轴方向向 \(-\infty\) 直视该曲线，当 \(\omega>0\) 时螺旋呈逆时针方向（即右手螺旋），当 \(\omega<0\) 时螺旋呈顺时针方向（即左手螺旋）。注意，虽然这两种复正弦函数的振荡速率相同，但它们并不是通过平移（即时间平移）或反射（即时间反转）得到的版本。左手螺旋和右手螺旋在本质上是不同的形状，一个无法通过平移和/或反射变为另一个。

如图 3.13 所示，复正弦函数 \(x(t)=e^{j \omega t}\) 在 \(\omega>0\) 和 \(\omega<0\) 时的行为本质上不同。因此，在处理复正弦函数时，通常使用带符号的频率（如前文第 2.10.2 节所介绍）。也就是说，我们通常将 \(\omega\) 称为复正弦函数的频率。这是带符号频率的一个应用实例（因为 \(\omega\) 显然是带符号的量）。旋转的正方向（即 \(\omega>0\)）对应右手螺旋，而旋转的负方向（即 \(\omega<0\)）对应左手螺旋。

图 3.12：复正弦函数。(a) 实部和 (b) 虚部。

图 3.13：复正弦函数 \(x(t)=e^{j \omega t}\)，(a) \(\omega=2 \pi\)，(b) \(\omega=-2 \pi\)。

3.5.2.3 一般复指数函数

最后，我们考虑一般复指数函数。也就是说，我们考虑式 (3.16) 的一般情况，其中 \(A\) 和 \(\lambda\) 都是复数。为了方便，我们将 \(A\) 用极坐标形式表示，将 \(\lambda\) 用笛卡尔形式表示如下：

\[ A=|A| e^{j \theta} \quad \text { 且 } \quad \lambda=\sigma+j \omega, \]

其中 \(\theta, \sigma\) 和 \(\omega\) 为实常数。将 \(A\) 和 \(\lambda\) 的表达式代入式 (3.16)，得到

\[ \begin{aligned} x(t) & =A e^{\lambda t} \\ & =|A| e^{j \theta} e^{(\sigma+j \omega) t} \\ & =|A| e^{\sigma t} e^{j(\omega t+\theta)} \\ & =|A| e^{\sigma t} \cos (\omega t+\theta)+j|A| e^{\sigma t} \sin (\omega t+\theta) \end{aligned} \]

可以看到，\(\operatorname{Re}[x(t)]\) 和 \(\operatorname{Im}[x(t)]\) 形式相似。它们都是实指数函数与实正弦函数的乘积。根据 \(\sigma\) 的取值，\(x\) 会表现出三种不同的行为模式。如果 \(\sigma=0\)，\(\operatorname{Re}(x)\) 和 \(\operatorname{Im}(x)\) 是实正弦函数。如果 \(\sigma>0\)，\(\operatorname{Re}(x)\) 和 \(\operatorname{Im}(x)\) 都是实正弦函数与增长型实指数函数的乘积。如果 \(\sigma<0\)，\(\operatorname{Re}(x)\) 和 \(\operatorname{Im}(x)\) 都是实正弦函数与衰减型实指数函数的乘积。图 3.14 展示了 \(\operatorname{Re}(x)\) 的这三种情况。

图 3.14：一般复指数函数的实部，(a) \(\sigma>0\)，(b) \(\sigma=0\)，(c) \(\sigma<0\)。

3.5.3 复指数函数与实正弦函数的关系

实正弦函数可以利用以下恒等式表示为两个复正弦函数的和：

\[ \begin{gather*} A \cos (\omega t+\theta)=\frac{A}{2}\left(e^{j(\omega t+\theta)}+e^{-j(\omega t+\theta)}\right) \quad \text { 和 } \tag{3.17}\\ A \sin (\omega t+\theta)=\frac{A}{2 j}\left(e^{j(\omega t+\theta)}-e^{-j(\omega t+\theta)}\right) \tag{3.18} \end{gather*} \]

该结果源自欧拉公式，本质上是对 (A.8) 的重述。

3.5.4 单位阶跃函数

在系统理论中，另一个常用的基本函数是单位阶跃函数。单位阶跃函数（也称为 Heaviside 函数）记作 \(u\)，定义为

\[ u(t)= \begin{cases}1 & t \geq 0 \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases} \]

该函数的图像如图 3.15 所示。显然，\(u\) 在原点处是不连续的。在这个不连续点，我们选择将 \(u\) 定义为 1（即 \(u(0)=1\)）。然而，这一选择在某种程度上是任意的。也就是说，对于大多数实际应用，由于本书未涉及的技术原因，重要的是 \(u(0)\) 是有限的，而不是其具体取值。因此，一些作者选择将 \(u(0)\) 保留为未指定（但有限）的常数，而其他作者则选择为 \(u(0)\) 赋予具体值。在选择具体值的情况下，最常用的值为 \(0, \frac{1}{2}\) 和 \(1\)。显然，在本书中，作者选择使用 \(u(0)=1\)。

图 3.15：单位阶跃函数。

3.5.5 符号函数

另一个与单位阶跃函数密切相关的函数是所谓的符号函数。符号函数记作 sgn，定义为

\[ \operatorname{sgn} t= \begin{cases}1 & t>0 \tag{3.19}\\ 0 & t=0 \\ -1 & t<0\end{cases} \]

该函数的图像如图 3.16 所示。从 (3.19) 可以看出，符号函数仅用于计算一个数的符号。

图 3.16：符号函数。

3.5.6 矩形函数

另一个有用的函数是矩形函数。矩形函数（也称为单位矩形脉冲函数）记作 rect，定义为

\[ \text { rect } t= \begin{cases}1 & -\frac{1}{2} \leq t<\frac{1}{2} \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases} \]

该函数的图像如图 3.17 所示。

图 3.17：矩形函数。

例 3.7（用矩形脉冲提取函数的一部分）
使用矩形函数提取图 3.18(a) 所示函数 \(x\) 的一个周期。

解 ：我们选择提取 \(x(t)\) 在 \(-\frac{T}{2}<t \leq \frac{T}{2}\) 区间内的周期。为了提取这个周期，我们需要将 \(x\) 与一个在该区间为 1、其他区间为 0 的函数相乘。这样的函数就是 \(v(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{1}{T} t\right)\)，如图 3.18(b) 所示。将 \(v\) 与 \(x\) 相乘得到的函数如图 3.18(c) 所示。

图 3.18：使用矩形函数提取周期函数 \(x\) 的一个周期。(a) 函数 \(x\)。(b) 时间缩放后的矩形函数 \(v\)。(c) \(x\) 与 \(v\) 的乘积。

3.5.7 指示函数

在工程中，经常出现函数或序列在其定义域的某个子集上为 1，其余部分为 0 的情况（例如单位阶跃函数、矩形函数、第 8 章后续出现的单位阶跃序列以及第 8 章后续出现的 delta 序列）。指示函数符号为表示此类函数和序列提供了一种简明方法。集合 \(A\) 的子集 \(S\) 的指示函数记作 \(\chi_{S}\)，定义为

\[ \chi_{S}(t)= \begin{cases}1 & \text { 如果 } t \in S \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases} \]

例 3.8 ：一个在 \(\mathbb{R}\) 上定义的矩形脉冲，幅值为 1，前沿在 \(a\)，后沿在 \(b\)，可以表示为 \(\chi_{[a, b]}\)。单位阶跃函数（在 \(\mathbb{R}\) 上定义）表示为 \(\chi_{[0, \infty)}\)。单位矩形脉冲（在 \(\mathbb{R}\) 上定义）表示为 \(\chi_{[-1 / 2,1 / 2)}\)。

3.5.8 三角函数

另一个有用的基本函数是三角函数（也称为单位三角脉冲函数），记作 tri，定义为

\[ \operatorname{tri} t= \begin{cases}1-2|t| & |t| \leq \frac{1}{2} \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases} \]

该函数的图像如图 3.19 所示。

图 3.19：三角函数。

3.5.9 基本正弦函数

在信号与系统的研究中，形式为 \(x(t)=\frac{\sin t}{t}\) 的函数经常出现。因此，为了方便，对这一特殊函数给予了一个专门的名称——基本正弦函数。更正式地，基本正弦函数（也称为 sinc 函数）记作 sinc，定义为

\[ \begin{equation*} \operatorname{sinc} t=\frac{\sin t}{t} . \tag{3.20} \end{equation*} \]

"sinc" 这一名称是函数完整拉丁名称 "sinus cardinalis"（基本正弦）的缩写。利用洛必达法则，可以确认 sinc \(t\) 在 \(t=0\) 时有定义，即 \(\operatorname{sinc} 0=1\)。

值得注意的是，文献中有时也会使用与上述不同的 sinc 函数定义。特别地，sinc 函数有时定义为

\[ \begin{equation*} x(t)=\frac{\sin (\pi t)}{\pi t} . \tag{3.21} \end{equation*} \]

为了避免可能的混淆，我们将式 (3.21) 定义的函数 \(x\) 称为归一化 sinc 函数。作为其他实践的示例，式 (3.20) 的 sinc 函数定义被文献 [8, 9, 14] 使用，而式 (3.21) 的定义被文献 [7, 13, 15] 以及 MATLAB 软件采用。

3.5.10 与取整相关的函数

取整有时是一个需要关注的操作。以下介绍几种与取整相关的函数。

下取整函数，记作 \(\lfloor\cdot\rfloor\)，是将实数 \(x\) 映射为不大于 \(x\) 的最大整数的函数。换句话说，下取整函数将实数向负无穷方向取整为最接近的整数。例如：

\[ \left\lfloor-\frac{1}{2}\right\rfloor=-1, \quad\left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor=0, \quad \text { 且 } \quad\lfloor 1\rfloor=1 \]

上取整函数，记作 \(\lceil\cdot\rceil\)，是将实数 \(x\) 映射为不小于 \(x\) 的最小整数的函数。换句话说，上取整函数将实数向正无穷方向取整为最接近的整数。例如：

\[ \left\lceil-\frac{1}{2}\right\rceil=0, \quad\left\lceil\frac{1}{2}\right\rceil=1, \quad \text { 且 } \quad\lceil 1\rceil=1 . \]

一些常用的与下取整和上取整函数相关的恒等式包括：

\[ \begin{gathered} \lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n \quad \text { 对 } x \in \mathbb{R} \text { 和 } n \in \mathbb{Z} ; \\ \lceil x+n\rceil=\lceil x\rceil+n \quad \text { 对 } x \in \mathbb{R} \text { 和 } n \in \mathbb{Z} ; \\ \lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor \quad \text { 对 } x \in \mathbb{R} ; \\ \lfloor x\rfloor=-\lceil-x\rceil \quad \text { 对 } x \in \mathbb{R} ; \\ \left\lceil\frac{m}{n}\right\rceil=\left\lfloor\frac{m+n-1}{n}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{m-1}{n}\right\rfloor+1 \quad \text { 对 } m, n \in \mathbb{Z} \text { 且 } n>0 ; \quad \text { 以及 } \\ \left\lfloor\frac{m}{n}\right\rfloor=\left\lceil\frac{m-n+1}{n}\right\rceil=\left\lceil\frac{m+1}{n}\right\rceil-1 \quad \text { 对 } m, n \in \mathbb{Z} \text { 且 } n>0 \end{gathered} \]

取余函数，记作 mod，是一个将两个整数 \(m\) 和 \(n\) 映射为 \(m\) 除以 \(n\) 后的余数的函数，其中余数定义为始终非负。例如，\(\bmod (10,3)=1\)，\(\bmod (-3,2)=1\)，\(\bmod (8,2)=0\)。取余函数可以用下取整函数表示为：

\[ \bmod (m, n)=m-n\lfloor m / n\rfloor \quad \text { 对 } n, m \in \mathbb{Z} \text { 且 } n \neq 0 \]

3.5.11 Delta 函数

在系统理论中，一个具有基础性的重要基本函数是 delta 函数。与其直接定义该函数，不如通过其性质来定义它。特别地，delta 函数（也称为 Dirac delta 函数或单位脉冲函数）记作 \(\delta\)，定义为满足以下两个性质的函数：

\[ \begin{gather*} \delta(t)=0 \quad \text { 对 } t \neq 0 \quad \text { 且 } \tag{3.22a}\\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1 \tag{3.22b} \end{gather*} \]

由这些性质可以看出，该函数在原点之外处处为零，在原点处未定义。确实，这是一种特殊的函数。虽然它在除一个点之外的所有位置都为零，但其积分不为零。从技术上讲，delta 函数并不是普通意义下的函数，而是一种称为广义函数的对象。

在图形上，delta 函数表示如图 3.20 所示。由于该函数在原点处取无限值，我们无法绘制其真实数值，因此用一条竖直箭头表示该无限值，同时标示脉冲强度。在图 3.21 中，我们绘制了经过缩放和平移的 delta 函数。

图 3.20：Delta 函数。

图 3.21：缩放和平移后的 delta 函数。

实际上，\(\delta\) 函数可以视为一列函数的极限，该序列中的函数是逐渐变窄且变高的脉冲，并且每个脉冲的积分均为 1。通过这种方式观察 \(\delta\)，可以更深入地理解该函数。以下，我们将考虑将 \(\delta\) 函数表示为一列矩形脉冲的极限。

考虑一族矩形脉冲函数，其形式为：

\[ g_{\varepsilon}(t)= \begin{cases}\frac{1}{|\varepsilon|} & |t|<\frac{|\varepsilon|}{2} \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases} \]

其中 \(\varepsilon\) 为实常数。\(g_{\varepsilon}\) 的图像如图 3.22 所示。显然，\(g_{\varepsilon}\) 是一个宽度为 \(|\varepsilon|\)、高度为 \(\frac{1}{|\varepsilon|}\)、中心在原点的矩形脉冲。可以观察到，随着 \(|\varepsilon|\) 减小，脉冲宽度减小而脉冲高度增大。同时，无论 \(\varepsilon\) 如何选择，脉冲的面积均为 1（即 \(\int_{-\infty}^{\infty} g_{\varepsilon}(t) d t=1\)）。因此，\(\delta\) 函数可以视为涉及 \(g_{\varepsilon}\) 的以下极限：

\[ \delta(t)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} g_{\varepsilon}(t) . \]

图 3.22：矩形脉冲函数 \(g_{\varepsilon}\)。

图 3.23：\(g_{\varepsilon}\) 在若干 \(\varepsilon\) 值下的图像。

为了帮助可视化这一极限过程，图 3.24 显示了 \(g_{\varepsilon}\) 在若干 \(\varepsilon\) 值下的图像。从图中可以直观地确认，当 \(\varepsilon \rightarrow 0\) 时，\(g_{\varepsilon} \rightarrow \delta\)。因此，\(\delta\) 可视为矩形脉冲的极限情况，其中脉冲宽度趋于无穷小，脉冲高度趋于无限大，同时保证所得函数的积分保持为 1。

图 3.24：\(d_{\varepsilon}\) 在若干 \(\varepsilon\) 值下的图像。

非正式地，也可以将 delta 函数 \(\delta\) 看作单位阶跃函数 \(u\) 的导数。然而严格来说，\(u\) 在 0 处不连续，因此其导数在普通意义下不存在。更准确地说，\(\delta\) 是 \(u\) 的广义导数。广义导数本质上是导数概念的扩展，即使对于不连续函数也可以良好定义。

delta 函数具有多个重要性质，这些性质直接来源于其在 (3.22) 中的定义。下面给出相关定理。

定理 3.3（等价性质）
对于在点 \(t_{0}\) 连续的任意函数 \(x\)，

\[ \begin{equation*} x(t) \boldsymbol{\delta}\left(t-t_{0}\right)=x\left(t_{0}\right) \boldsymbol{\delta}\left(t-t_{0}\right) \quad \text { 对所有 } t \tag{3.23} \end{equation*} \]

这一结果称为等价性质，如图 3.25 所示。

图 3.25：等价性质的图示。(a) 函数 \(x\)；(b) 平移后的 delta 函数；(c) 两者的乘积。

证明：该证明直接来源于 delta 函数仅在单一点非零的事实。

定理 3.4（抽取性质）
对于在点 \(t_{0}\) 连续的任意函数 \(x\)，

\[ \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta\left(t-t_{0}\right) d t=x\left(t_{0}\right) \tag{3.24} \end{equation*} \]

这一结果称为抽取性质。
证明：由 (3.22b) 可得

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) d t=1 \]

将上式两边同时乘以 \(x\left(t_{0}\right)\)，得到

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x\left(t_{0}\right) \delta\left(t-t_{0}\right) d t=x\left(t_{0}\right) \]

然后利用 (3.23) 中的等价性质，可得

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta\left(t-t_{0}\right) d t=x\left(t_{0}\right) \]

定理 3.5（缩放性质）
对于所有非零实数 \(a\)，有如下恒等式成立：

\[ \begin{equation*} \delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t) \tag{3.25} \end{equation*} \]

该恒等式有时称为 delta 函数的缩放性质。
证明：考虑一族高斯函数，其形式为

\[ d_{\varepsilon}(t)=\frac{1}{|\varepsilon| \sqrt{\pi}} e^{-(t / \varepsilon)^{2}} . \]

我们可以观察到 \(d_{\varepsilon}\) 的几个性质，这些性质与 \(\varepsilon\) 的取值无关。首先，\(d_{\varepsilon}\) 在原点取得最大值 \(\frac{1}{|\varepsilon| \sqrt{\pi}}\)，并随着距离原点的增大以二次指数速度衰减。其次，随着 \(|\varepsilon|\) 减小，\(d_{\varepsilon}\) 在非极小值区间的长度减小。第三，\(d_{\varepsilon}\) 满足

\[ \int_{-\infty}^{\infty} d_{\varepsilon}(t) d t=1 \]

因此，\(\delta\) 函数可以视为 \(d_{\varepsilon}\) 的极限情况。特别地，有

\[ \begin{aligned} \delta(t) & =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} d_{\varepsilon}(t) \\ & =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{|\varepsilon| \sqrt{\pi}} e^{-(t / \varepsilon)^{2}} . \end{aligned} \]

为了可视化，图 3.24 显示了 \(d_{\varepsilon}\) 在若干 \(\varepsilon\) 值下的图像。由图可见，当 \(\varepsilon \rightarrow 0\) 时，\(d_{\varepsilon} \rightarrow \delta\)。在上式中将 \(t\) 替换为 \(a t\)，得到

\[ \delta(a t)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{|\varepsilon| \sqrt{\pi}} e^{-(a t / \varepsilon)^{2}} . \]

进行变量替换，令 \(\varepsilon^{\prime}=\varepsilon / a\)，则 \(\varepsilon=\varepsilon^{\prime} a\)，\(a=\varepsilon / \varepsilon^{\prime}\)。应用变量替换，得到

\[ \begin{aligned} \delta(a t) & =\lim _{\varepsilon^{\prime} \rightarrow 0} \frac{1}{\left|\varepsilon^{\prime} a\right| \sqrt{\pi}} e^{-\left(a t /\left[\varepsilon^{\prime} a\right]\right)^{2}} \\ & =\lim _{\varepsilon^{\prime} \rightarrow 0} \frac{1}{\left|\varepsilon^{\prime}\right||a| \sqrt{\pi}} e^{-\left(t / \varepsilon^{\prime}\right)^{2}} \\ & =\lim _{\varepsilon^{\prime} \rightarrow 0} \frac{1}{|a|} \frac{1}{\left|\varepsilon^{\prime}\right| \sqrt{\pi}} e^{-\left(t / \varepsilon^{\prime}\right)^{2}} \\ & =\frac{1}{|a|} \lim _{\varepsilon^{\prime} \rightarrow 0} \frac{1}{\left|\varepsilon^{\prime}\right| \sqrt{\pi}} e^{-\left(t / \varepsilon^{\prime}\right)^{2}} \\ & =\frac{1}{|a|} \delta(t) \end{aligned} \]

因此，(3.25) 得证。

定理 3.6（偶性）
\(\delta\) 函数满足

\[ \delta(t)=\delta(-t) . \]

证明：由 \(\delta\) 函数的定义可直接得出。

如后续将看到的，\(\delta\) 的等价性质、抽取性质、缩放性质及偶性都是非常有用的。最后，由 \(\delta\) 的定义可知，在不包含原点的任意区间上积分该函数，其值为零。

例 3.9（抽取性质示例）
计算积分

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \sin (t) \delta\left(t-\frac{\pi}{4}\right) d t \]

解：利用 delta 函数的抽取性质，有

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \sin (t) \delta\left(t-\frac{\pi}{4}\right) d t & =\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

例 3.10（抽取性质示例）
计算积分

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \sin (2 \pi t) \delta(4 t-1) d t \]

解：首先观察，该积分不完全符合 (3.24) 的形式，因此需要进行变量替换。令 \(\tau=4 t\)，则 \(t=\frac{1}{4} \tau\)，\(d t=\frac{1}{4} d \tau\)。进行变量替换，得到

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \sin (2 \pi t) \delta(4 t-1) d t & =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{4} \sin \left[2 \pi\left(\frac{1}{4} \tau\right)\right] \delta(\tau-1) d \tau \\ & =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi}{2} \tau\right) \delta(\tau-1) d \tau \end{aligned} \]

此时积分形式满足要求，可使用 delta 函数的抽取性质，得到

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \sin (2 \pi t) \delta(4 t-1) d t & =\left.\left[\frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi}{2} \tau\right)\right]\right|_{\tau=1} \\ & =\frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \\ & =\frac{1}{4} \end{aligned} \]

例 3.11
计算积分 \(\int_{-\infty}^{t}\left(\tau^{2}+1\right) \delta(\tau-2) d \tau\)。
解：利用 (3.23) 给出的 delta 函数等价性质，可得

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{t}\left(\tau^{2}+1\right) \delta(\tau-2) d \tau & =\int_{-\infty}^{t}\left(2^{2}+1\right) \delta(\tau-2) d \tau \\ & =5 \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau-2) d \tau \end{aligned} \]

由 delta 函数的定义性质 (3.22)，可知

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau-2) d \tau & = \begin{cases}1 & t \geq 2 \\ 0 & t<2\end{cases} \\ & =u(t-2) \end{aligned} \]

因此，得出结论：

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{t}\left(\tau^{2}+1\right) \delta(\tau-2) d \tau & = \begin{cases}5 & t \geq 2 \\ 0 & t<2\end{cases} \\ & =5 u(t-2) \end{aligned} \]

3.6 用基本函数表示任意函数

在前面的章节中，我们介绍了若干基本函数。在信号分析中，通常希望将任意函数表示为基本函数的组合。下面讨论如何利用单位阶跃函数 \(u\) 来得到函数的另一种表示。

例 3.12（矩形函数）
证明矩形函数可以表示为

\[ \operatorname{rect} t=u\left(t+\frac{1}{2}\right)-u\left(t-\frac{1}{2}\right) \]

解：利用 \(u\) 的定义及时间平移，有

\[ u\left(t+\frac{1}{2}\right)= \begin{cases}1 & t \geq-\frac{1}{2} \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases} \quad u\left(t-\frac{1}{2}\right)= \begin{cases}1 & t \geq \frac{1}{2} \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}. \]

因此

\[ \begin{aligned} u\left(t+\frac{1}{2}\right)-u\left(t-\frac{1}{2}\right) & = \begin{cases}0-0 & t<-\frac{1}{2} \\ 1-0 & -\frac{1}{2} \leq t<\frac{1}{2} \\ 1-1 & t \geq \frac{1}{2}\end{cases} \\ & = \begin{cases}0 & t<-\frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} \leq t<\frac{1}{2} \\ 0 & t \geq \frac{1}{2}\end{cases} \\ & = \begin{cases}1 & -\frac{1}{2} \leq t<\frac{1}{2} \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases} \\ & =\text { rect } t . \end{aligned} \]

图 3.26 给出了图示。

Figure 3.26: Representing the rectangular function using unit-step functions. (a) A shifted unit-step function, (b) another shifted unit-step function, and (c) their difference (which is the rectangular function).

推广到任意矩形脉冲：高度为 1，起始边 \(a\)，结束边 \(b\)：

\[ x(t)=u(t-a)-u(t-b)=\begin{cases}1 & a \le t < b \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}. \]

---

例 3.13（分段线性函数）。考虑如下分段线性函数 \(x\)：

\[ x(t)= \begin{cases}t & 0 \leq t<1 \\ 1 & 1 \leq t<2 \\ 3-t & 2 \leq t<3 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases} \]

求一个适用于所有 \(t\) 的单一表达式（使用单位阶跃函数表示）。

解答：\(x\) 的图像如图 3.27(a) 所示。我们分别考虑分段函数的每一段：

• 第一段（\(0 \leq t<1\)）可表示为：

\[ v_{1}(t)=t[u(t)-u(t-1)] . \]

该函数绘制如图 3.27(b)。

• 第二段（\(1 \leq t<2\)）可表示为：

\[ v_{2}(t)=u(t-1)-u(t-2) . \]

该函数绘制如图 3.27(c)。

• 第三段（\(2 \leq t<3\)）可表示为：

\[ v_{3}(t)=(3-t)[u(t-2)-u(t-3)] . \]

该函数绘制如图 3.27(d)。

现在注意到：

\[ x=v_{1}+v_{2}+v_{3} . \]

即：

\[ \begin{aligned} x(t) & =v_{1}(t)+v_{2}(t)+v_{3}(t) \\ & =t[u(t)-u(t-1)]+[u(t-1)-u(t-2)]+(3-t)[u(t-2)-u(t-3)] \\ & =t u(t)+(1-t) u(t-1)+(3-t-1) u(t-2)+(t-3) u(t-3) \\ & =t u(t)+(1-t) u(t-1)+(2-t) u(t-2)+(t-3) u(t-3) \end{aligned} \]

因此，我们得到了一个适用于所有 \(t\) 的单一表达式。

图 3.27：使用单位阶跃函数表示分段线性函数。(a) 函数 \(x\)；(b)、(c) 和 (d) 三个函数，它们的和为 \(x\)。

---

例 3.14（分段多项式函数）。考虑如下分段多项式函数 \(x\)：

\[ x(t)= \begin{cases}1 & 0 \leq t<1 \\ (t-2)^{2} & 1 \leq t<3 \\ 4-t & 3 \leq t<4 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases} \]

求一个适用于所有 \(t\) 的单一表达式（使用单位阶跃函数表示）。

解：\(x\) 的图像如图 3.28(a) 所示。我们分别考虑分段函数的每一段：

图 3.28：使用单位阶跃函数表示分段多项式函数。(a) 函数 \(x\)；(b)、(c) 和 (d) 三个函数，其和为 \(x\)。

• 第一段（\(0 \leq t<1\)）可表示为：

\[ v_{1}(t)=u(t)-u(t-1) . \]

该函数绘制如图 3.28(b)。

• 第二段（\(1 \leq t<3\)）可表示为：

\[ v_{2}(t)=(t-2)^{2}[u(t-1)-u(t-3)]=\left(t^{2}-4 t+4\right)[u(t-1)-u(t-3)] . \]

该函数绘制如图 3.28(c)。

• 第三段（\(3 \leq t<4\)）可表示为：

\[ v_{3}(t)=(4-t)[u(t-3)-u(t-4)] . \]

该函数绘制如图 3.28(d)。

现在观察到： $$ x=v_{1}+v_{2}+v_{3} .$$ 即：

\[ \begin{aligned} x(t) & =v_{1}(t)+v_{2}(t)+v_{3}(t) \\ & =[u(t)-u(t-1)]+\left(t^{2}-4 t+4\right)[u(t-1)-u(t-3)]+(4-t)[u(t-3)-u(t-4)] \\ & =u(t)+\left(t^{2}-4 t+4-1\right) u(t-1)+\left(4-t-\left[t^{2}-4 t+4\right]\right) u(t-3)-(4-t) u(t-4) \\ & =u(t)+\left(t^{2}-4 t+3\right) u(t-1)+\left(-t^{2}+3 t\right) u(t-3)+(t-4) u(t-4) \end{aligned} \]

因此，我们得到了一个适用于所有 \(t\) 的单一表达式。

---

例 3.15（周期函数）。考虑图 3.29(a) 所示的周期函数 \(x\)。求一个适用于所有 \(t\) 的 \(x(t)\) 的单一表达式（涉及单位阶跃函数）。

解答。我们首先求 \(x\) 的一个周期的表达式。将此表达式记为 \(v\)。则可以写为：

\[ v(t)=u\left(t+\frac{1}{2}\right)-u\left(t-\frac{1}{2}\right)。 \]

该函数绘制如图 3.29(b) 所示。为了得到周期函数 \(x\)，我们必须每 2 个单位重复 \(v\)（因为 \(x\) 的周期为 2）。这可以通过添加无限多个平移后的 \(v\) 副本来实现，即：

\[ \begin{aligned} x(t) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} v(t-2 k) \\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[u\left(t+\frac{1}{2}-2 k\right)-u\left(t-\frac{1}{2}-2 k\right)\right]。 \end{aligned} \]

图 3.29：使用单位阶跃函数表示周期函数。(a) 周期函数 \(x\)；(b) 一个由 \(x\) 的单个周期组成的函数 \(\nu\)。

因此，我们得到了一个适用于所有 \(t\) 的 \(x\) 的单一表达式。

3.7 连续时间系统

假设我们有一个输入为 \(x\)、输出为 \(y\) 的系统。这样的系统可以用下式在数学上描述：

\[ \begin{equation*} y=\mathcal{H} x, \tag{3.26} \end{equation*} \]

其中 \(\mathcal{H}\) 是表示系统的算子（即变换）。算子 \(\mathcal{H}\) 将输入函数 \(x\) 映射为输出函数 \(y\)。另外，我们有时也使用如下符号表示关系 (3.26)：

\[ x \xrightarrow{\mathcal{H}} y。 \]

此外，如果上下文清楚，算子 \(\mathcal{H}\) 常常可以省略，从而得到简化的表示法：

\[ x \rightarrow y。 \]

注意，符号“\(\rightarrow\)”和“\(=\)”的意义完全不同。例如，符号 \(x \rightarrow y\) 并不意味着 \(x=y\)。符号“\(\rightarrow\)”应读作“产生”（而非“等于”）。也就是说，“\(x \rightarrow y\)”应理解为“输入 \(x\) 产生输出 \(y\)”。

3.7.1 框图表示

假设我们有一个由算子 \(\mathcal{H}\) 定义的系统，其输入为 \(x\)，输出为 \(y\)。通常，我们使用如图 3.30 所示的框图来表示这样的系统。

图 3.30：系统的框图。

3.7.2 系统的互连

系统可以通过多种方式互连。两种基本互连方式如图 3.31 所示。第一种互连方式，如图 3.31(a) 所示，称为串联或级联互连。在此情况下，整体系统由下式定义：

\[ y = \mathcal{H}_2 \mathcal{H}_1 x . \tag{3.27} \]

第二种互连方式，如图 3.31(b) 所示，称为并联互连。在此情况下，整体系统由下式定义：

\[ y = \mathcal{H}_1 x + \mathcal{H}_2 x . \tag{3.28} \]

除非已知算子 \(\mathcal{H}_1\) 和 \(\mathcal{H}_2\) 的具体定义，否则 (3.27) 和 (3.28) 中的系统方程无法进一步简化。

图 3.31：系统的互连。(a) 系统 \(\mathcal{H}_{1}\) 与 \(\mathcal{H}_{2}\) 的串联互连；(b) 系统 \(\mathcal{H}_{1}\) 与 \(\mathcal{H}_{2}\) 的并联互连。

3.8 系统的性质

在下文中，我们将定义系统可能具有的一些重要性质。这些性质对于系统的分类以及特性描述非常有用。

3.8.1 无记忆性

如果对于每个实常数 \(t_{0}\)，系统 \(\mathfrak{H}\) 的输出 \(\mathfrak{H} x\left(t_{0}\right)\) 不依赖于某些 \(t \neq t_{0}\) 时的输入 \(x(t)\)，则称该系统为无记忆系统。换句话说，无记忆系统的输出在任意时刻的值仅依赖于输入在同一时刻的值。一个不是无记忆的系统被称为有记忆系统。虽然无记忆系统结构简单，但其灵活性有限，因为当前输出值不能依赖输入的过去或未来值。

例 3.16（理想放大器）。判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否为无记忆系统，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=A x(t) \]

且 \(A\) 是非零实常数。

解答。考虑在任意点 \(t=t_{0}\) 计算 \(\mathcal{H} x(t)\)。我们有：

\[ \mathcal{H} x\left(t_{0}\right)=A x\left(t_{0}\right) \]

因此，\(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 仅依赖 \(t=t_{0}\) 时的 \(x(t)\)。所以，该系统是无记忆的。

例 3.17（理想积分器）。判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否为无记忆系统，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau \]

解答。考虑在任意点 \(t=t_{0}\) 计算 \(\mathcal{H} x(t)\)。我们有：

\[ \mathcal{H} x\left(t_{0}\right)=\int_{-\infty}^{t_{0}} x(\tau) d \tau \]

因此，\(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 依赖于 \(-\infty < t \le t_{0}\) 时的 \(x(t)\)。所以 \(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 依赖于某些 \(t \neq t_{0}\) 的 \(x(t)\)（例如 \(t_{0}-1\)）。因此，该系统是有记忆的（即不是无记忆系统）。

例 3.18。判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否为无记忆系统，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=e^{x(t)} \]

解答。考虑在任意点 \(t=t_{0}\) 计算 \(\mathcal{H} x(t)\)。我们有：

\[ \mathcal{H} x\left(t_{0}\right)=e^{x\left(t_{0}\right)} \]

因此，\(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 仅依赖 \(t=t_{0}\) 时的 \(x(t)\)。所以，该系统是无记忆的。

例 3.19。判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否为无记忆系统，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\operatorname{Odd}(x)(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] \]

解答。考虑在任意点 \(t=t_{0}\) 计算 \(\mathcal{H} x(t)\)。我们有：

\[ \mathcal{H} x\left(t_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t_{0}\right)-x\left(-t_{0}\right)\right] \]

因此，对于任意 \(x\) 和任意实数 \(t_{0}\)，\(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 依赖于 \(x(t)\) 在 \(t=t_{0}\) 和 \(t=-t_{0}\) 的值。由于 \(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 依赖于某些 \(t \neq t_{0}\) 的 \(x(t)\)，该系统是有记忆的（即不是无记忆系统）。

3.8.2 因果性（Causality）

如果一个系统 \(\mathcal{H}\) 满足以下条件：对于任意实常数 \(t_0\)，\(\mathcal{H} x(t_0)\) 不依赖于 \(x(t)\) 对于某些 \(t>t_0\) 的值，则称该系统是因果的（causal）。换句话说，因果系统的输出在任意时刻仅依赖于输入在同一时刻或之前的值（不能依赖未来的值）。无存储系统一定是因果的，但反之不一定成立。

如果自变量表示时间，则系统必须是因果的才能在物理上可实现（即可以构建）。非因果系统在某些场合仍然有用，因为自变量不必总是表示时间。

例 3.20（理想积分器）
判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否因果，其中

\[ \mathcal{H} x(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \]

解答
对于任意 \(t_0\)：

\[ \mathcal{H} x(t_0) = \int_{-\infty}^{t_0} x(\tau) d\tau \]

输出仅依赖于 \(t \le t_0\) 的输入值，因此系统是因果的。

例 3.21
判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否因果，其中

\[ \mathcal{H} x(t) = \int_{t-1}^{t+1} x(\tau) d\tau \]

解答
对于任意 \(t_0\)：

\[ \mathcal{H} x(t_0) = \int_{t_0-1}^{t_0+1} x(\tau) d\tau \]

输出依赖于 \(t_0-1 \le t \le t_0+1\) 的输入值，其中一些值大于 \(t_0\)（例如 \(t_0+1\)），因此系统不是因果的。

例 3.22
判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否因果，其中

\[ \mathcal{H} x(t) = (t+1) e^{x(t-1)} \]

解答
对于任意 \(t_0\)：

\[ \mathcal{H} x(t_0) = (t_0+1) e^{x(t_0-1)} \]

输出仅依赖于 \(t=t_0-1 \le t_0\) 的输入值，因此系统是因果的。

例 3.23
判断系统 \(\mathcal{H}\) 是否因果，其中

\[ \mathcal{H} x(t) = \operatorname{Odd}(x)(t) = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)] \]

解答。对于任意 \(x\) 和任意实常数 \(t_{0}\)，\(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\) 仅依赖于 \(t=t_{0}\) 和 \(t=-t_{0}\) 时的 \(x(t)\)。假设 \(t_{0}=-1\)。在这种情况下，\(\mathcal{H} x\left(t_{0}\right)\)（即 \(\mathcal{H} x(-1)\)）依赖于 \(t=1\) 时的 \(x(t)\)，但 \(t=1>t_{0}\)。因此，该系统不是因果系统。

3.8.3 可逆性

系统 \(\mathcal{H}\) 的逆系统是一个系统 \(\mathcal{G}\)，使得对每一个函数 \(x\) 都有

\[ \mathcal{G} \mathcal{H} x=x \]

（即，由 \(\mathfrak{H}\) 和 \(\mathcal{G}\) 串联形成的系统，其输入与输出相等）。换句话说，\(\mathcal{H}\) 的作用被 \(\mathcal{G}\) 抵消。符号上，\(\mathcal{H}\) 的逆系统记为 \(\mathcal{H}^{-1}\)。系统与其逆系统的关系如图 3.32 所示。由于 \(\mathcal{H}\) 与 \(\mathcal{H}^{-1}\) 的关系（即 \(\mathcal{H}^{-1}\) 抵消 \(\mathcal{H}\)），图中的两个系统必须是等效的。

图 3.32：等效系统（假设 \(\mathfrak{H}^{-1}\) 存在）。(a) 第一系统；(b) 第二系统。

如果一个系统 \(\mathscr{H}\) 存在对应的逆系统（即其逆系统存在），则称该系统是可逆的。一个可逆系统必须满足其输入 \(x\) 可以总是从输出 \(\mathcal{H} x\) 唯一确定。由此定义可知，可逆系统对于任意两个不同的输入，总会产生不同的输出。

要证明一个系统是可逆的，只需找到它的逆系统即可。要证明一个系统不可逆，只需找到该系统的两个不同输入导致相同输出即可。在实际应用中，可逆系统很有用，因为其作用可以被撤销。

例 3.24. 判定系统 \(\mathcal{H}\) 是否可逆，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=x\left(t-t_{0}\right) \]

且 \(t_{0}\) 为实常数。
解：设 \(y=\mathcal{H} x\)。将 \(t+t_{0}\) 代入 \(y(t)=x\left(t-t_{0}\right)\)，得到

\[ \begin{aligned} y\left(t+t_{0}\right) & =x\left(t+t_{0}-t_{0}\right) \\ & =x(t) \end{aligned} \]

因此，我们得出

\[ x(t)=y\left(t+t_{0}\right) . \]

这正是逆系统 \(\mathcal{H}^{-1}\) 的方程。具体地，我们有

\[ x(t)=\mathcal{H}^{-1} y(t) \]

其中

\[ \mathcal{H}^{-1} y(t)=y\left(t+t_{0}\right) . \]

因此，我们找到了 \(\mathcal{H}^{-1}\)。所以系统 \(\mathcal{H}\) 是可逆的。

例 3.25. 判定系统 \(\mathcal{H}\) 是否可逆，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\sin [x(t)] . \]

解：考虑输入形式为 \(x(t)=2 \pi k\)，其中 \(k\) 为任意整数。该输入下的系统响应为

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x(t) & =\sin [x(t)] \\ & =\sin (2 \pi k) \\ & =0 \end{aligned} \]

因此，我们找到了无限多个不同输入（即 \(x(t)=2 \pi k\)，\(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)），它们都产生相同输出。因此，该系统不可逆。

例 3.26. 判定系统 \(\mathcal{H}\) 是否可逆，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=3 x(3 t+3) \]

解：设 \(y=\mathcal{H} x\)。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义，可以写作

\[ \begin{aligned} & y(t)=3 x(3 t+3) \\ \Rightarrow \quad & y\left(\frac{1}{3} t-1\right)=3 x(t) \\ \Rightarrow \quad & x(t)=\frac{1}{3} y\left(\frac{1}{3} t-1\right) \end{aligned} \]

换句话说，\(\mathcal{H}^{-1}\) 为 \(\mathcal{H}^{-1} y(t)=\frac{1}{3} y\left(\frac{1}{3} t-1\right)\)。由于我们已经找到了 \(\mathcal{H}^{-1}\)，所以 \(\mathcal{H}^{-1}\) 存在。因此系统 \(\mathscr{H}\) 是可逆的。

示例 3.27. 判定系统 \(\mathcal{H}\) 是否可逆，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\operatorname{Odd}(x)(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] . \]

解：考虑输入 \(x\) 形式为

\[ x(t)=\alpha \]

其中 \(\alpha\) 为实常数。系统响应为

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x(t) & =\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] \\ & =\frac{1}{2}(\alpha-\alpha) \\ & =0 \end{aligned} \]

因此，任何常数输入都会产生相同的零输出。这意味着不同输入可能产生相同输出。因此，该系统不可逆。

3.8.4 有界输入有界输出（BIBO）稳定性

尽管稳定性可以用多种方式定义，但在系统理论中，我们通常最关心的是有界输入有界输出（BIBO）稳定性。

如果对于每一个有界函数 \(x\)，系统 \(\mathcal{H}\) 的输出 \(\mathcal{H} x\) 也是有界的（即 \(|x(t)|<\infty\) 对所有 \(t\) 都成立，则 \(|\mathcal{H}(x(t))|<\infty\) 对所有 \(t\) 也成立），则称系统 \(\mathcal{H}\) 是 BIBO 稳定的。换句话说，BIBO 稳定系统保证只要输入是有界的，其输出也始终是有界的。

要证明一个系统是 BIBO 稳定的，我们必须展示每一个有界输入都会产生有界输出。要证明一个系统不是 BIBO 稳定的，我们只需找到一个反例（即一个有界输入导致输出无界）。在尝试证明系统 BIBO 稳定时，三角不等式（F.16）通常非常有用。

在实际意义上，BIBO 稳定系统的行为良好：只要系统输入在任意时刻保持有限，输出也将在任意时刻保持有限。通常，非 BIBO 稳定的系统会带来严重的安全问题。例如，一个便携式音乐播放器，如果电池输入为 3.7 伏特，而耳机输出为 \(\infty\) 伏特，将导致一名人体瞬间蒸发（可能还会伴随一场巨大的诉讼）。

例 3.28（平方器）
确定系统 \(\mathfrak{H}\) 是否 BIBO 稳定，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=x^{2}(t) \]

解答
假设输入 \(x\) 是有界的，即对所有 \(t\)：

\[ |x(t)| \leq A \]

其中 \(A\) 是有限的实常数。对不等式两边平方，得到：

\[ |x(t)|^{2} \leq A^{2} \]

交换左侧的不等式中的平方与绝对值运算顺序，可得：

\[ \left|x^{2}(t)\right| \leq A^{2} \]

由于 \(\mathcal{H} x(t)=x^{2}(t)\)，我们可以写成：

\[ |\mathcal{H} x(t)| \leq A^{2} \]

由于 \(A\) 有限，因此 \(A^{2}\) 也是有限的。因此，\(\mathcal{H} x\) 是有界的（即 \(|\mathcal{H} x(t)| \leq A^{2}<\infty\) 对所有 \(t\) 成立）。因此，该系统是 BIBO 稳定的。

例 3.29（理想积分器）
确定系统 \(\mathfrak{H}\) 是否 BIBO 稳定，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau \]

解答
假设我们选择输入 \(x=u\)（其中 \(u\) 表示单位阶跃函数）。显然，\(u\) 是有界的（即 \(|u(t)| \leq 1\) 对所有 \(t\) 成立）。计算该输入的响应 \(\mathcal{H} x\)：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x(t) & =\int_{-\infty}^{t} u(\tau) d \tau \\ & =\int_{0}^{t} d \tau \\ & =\left.[\tau]\right|_{0} ^{t} \\ & =t \end{aligned} \]

然而，从结果可见，当 \(t \rightarrow \infty\) 时，\(\mathcal{H} x(t) \rightarrow \infty\)。因此，对于有界输入 \(x\)，输出 \(\mathcal{H} x\) 是无界的。因此，该系统不是 BIBO 稳定的。

例 3.30
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否 BIBO 稳定，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\operatorname{Odd}(x)(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] . \]

解答
假设 \(x\) 是有界的，则 \(x(-t)\) 也是有界的。由于两个有界函数的差仍然是有界的，\(x(t)-x(-t)\) 是有界的。将有界函数乘以有限常数仍然得到有界结果。因此，函数 \(\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\) 是有界的。因此，\(\mathcal{H} x(t)\) 是有界的。由于有界输入必须产生有界输出，该系统是 BIBO 稳定的。

例 3.31（理想微分器）
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否 BIBO 稳定，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\mathcal{D} x(t) \]

且 \(\mathcal{D}\) 表示求导算子。

解答
考虑输入 \(x(t)=\sin \left(t^{2}\right)\)。显然，\(x\) 是有界的，因为正弦函数是有界的。特别地，对所有实数 \(t\)，\(|x(t)| \leq 1\)。现在考虑系统对输入 \(x\) 的响应：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x(t) & =\mathcal{D} x(t) \\ & =\mathcal{D}\left\{\sin \left(t^{2}\right)\right\}(t) \\ & =2 t \cos \left(t^{2}\right) . \end{aligned} \]

显然，\(\mathcal{H} x\) 是无界的，因为 \(|\mathcal{H} x(t)|\) 随着 \(|t| \rightarrow \infty\) 无界增长。因此，对于某些有界输入，输出不是有界的。因此，该系统不是 BIBO 稳定的。

3.8.5 时间不变性

如果对于每一个函数 \(x\) 和每一个实数 \(t_{0}\)，系统 \(\mathcal{H}\) 满足以下条件：

\[ \mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right)=\mathcal{H} x^{\prime}(t) \quad \text{对所有 } t \text{ 成立，其中 } x^{\prime}(t)=x\left(t-t_{0}\right) \]

则称系统 \(\mathcal{H}\) 为时间不变（TI）（或移位不变（SI））（即 \(\mathcal{H}\) 与时间平移算子可交换）。换句话说，如果输入函数发生时间平移（提前或延迟），输出函数也会发生相同的时间平移，则系统是时间不变的。非时间不变系统称为时间可变（或移位可变）系统。实际上，时间不变意味着图 3.33 中的两个系统是等价的，其中 \(\mathcal{S}_{t_{0}}\) 表示对函数施加 \(t_{0}\) 的时间平移算子（即 \(\mathcal{S}_{t_{0}} x(t)=x(t-t_{0})\)）。

简而言之，时间不变系统的行为随时间不发生变化。实际上，与时间可变系统相比，时间不变系统更易于设计和分析，因为其行为不会随时间变化。

图 3.33：如果 \(\mathcal{H}\) 是时间不变的（即 \(\mathcal{H}\) 与 \(\mathcal{S}_{t_{0}}\) 可交换），两个系统是等价的。(a) 先将输入平移 \(t_{0}\) 再施加 \(\mathcal{H}\)（即 \(y=\mathcal{H} \mathcal{S}_{t_{0}} x\)）；(b) 先施加 \(\mathcal{H}\) 再平移 \(t_{0}\)（即 \(y=\mathcal{S}_{t_{0}} \mathcal{H}(x)\)）。

例 3.32
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否时间不变，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\sin [x(t)] . \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=x\left(t-t_{0}\right)\)，其中 \(t_{0}\) 是任意实常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义，可以得到：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right) & =\sin \left[x\left(t-t_{0}\right)\right], \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =\sin \left[x^{\prime}(t)\right] \\ & =\sin \left[x\left(t-t_{0}\right)\right] \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right)=\mathcal{H} x^{\prime}(t)\) 对所有 \(x\) 和 \(t_{0}\) 成立，因此该系统是时间不变的。

例 3.33
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否时间不变，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=t x(t) \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=x\left(t-t_{0}\right)\)，其中 \(t_{0}\) 是任意实常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right) & =\left(t-t_{0}\right) x\left(t-t_{0}\right), \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =t x^{\prime}(t) \\ & =t x\left(t-t_{0}\right) \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right)=\mathcal{H} x^{\prime}(t)\) 对所有 \(x\) 和 \(t_{0}\) 不成立，因此该系统不是时间不变的（即系统是时间可变的）。

例 3.34
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否时间不变，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\sum_{k=-10}^{10} x(t-k) \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=x\left(t-t_{0}\right)\)，其中 \(t_{0}\) 是任意实常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right) & =\sum_{k=-10}^{10} x\left(t-t_{0}-k\right), \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =\sum_{k=-10}^{10} x^{\prime}(t-k) \\ & =\sum_{k=-10}^{10} x\left(t-k-t_{0}\right) \\ & =\sum_{k=-10}^{10} x\left(t-t_{0}-k\right) \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H}\left(x\left(t-t_{0}\right)\right)=\mathcal{H} x^{\prime}(t)\) 对所有 \(x\) 和 \(t_{0}\) 成立，因此该系统是时间不变的。

例 3.35
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否时间不变，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\operatorname{Odd}(x)(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] . \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=x\left(t-t_{0}\right)\)，其中 \(t_{0}\) 是任意实常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right) & =\frac{1}{2}\left[x\left(t-t_{0}\right)-x\left(-\left(t-t_{0}\right)\right)\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[x\left(t-t_{0}\right)-x\left(-t+t_{0}\right)\right], \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =\frac{1}{2}\left[x^{\prime}(t)-x^{\prime}(-t)\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[x\left(t-t_{0}\right)-x\left(-t-t_{0}\right)\right] \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H} x\left(t-t_{0}\right)=\mathcal{H} x^{\prime}(t)\) 对所有 \(x\) 和 \(t_{0}\) 不成立，因此该系统不是时间不变的。

3.8.6 线性

加法和标量乘法是最常见的两种数学运算。因此，了解这些运算是否与给定系统的操作可交换通常非常有帮助。接下来介绍的系统性质就与此问题相关。

如果对于所有函数 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\)，系统 \(\mathcal{H}\) 满足：

\[ \mathcal{H}\left(x_{1}+x_{2}\right)=\mathcal{H} x_{1}+\mathcal{H} x_{2} \]

则称系统 \(\mathcal{H}\) 为加法性的（即 \(\mathcal{H}\) 与加法可交换）。本质上，系统 \(\mathcal{H}\) 的加法性意味着图 3.34 所示的两个系统是等价的。

如果对于每一个函数 \(x\) 和每一个复常数 \(a\)，系统 \(\mathcal{H}\) 满足：

\[ \mathcal{H}(a x)=a \mathcal{H} x \]

则称系统 \(\mathcal{H}\) 为齐次的（即 \(\mathcal{H}\) 与标量乘法可交换）。本质上，系统 \(\mathcal{H}\) 的齐次性意味着图 3.35 所示的两个系统是等价的。

图 3.34：如果 \(\mathcal{H}\) 是加法性的（即 \(\mathcal{H}\) 与加法可交换），两个系统是等价的。(a) 先执行加法再施加 \(\mathcal{H}\)（即 \(y=\mathcal{H}\left(x_{1}+x_{2}\right)\)）；(b) 先施加 \(\mathcal{H}\) 再执行加法（即 \(y=\mathcal{H} x_{1}+\mathcal{H}(x_{2})\)）。

图 3.35：如果 \(\mathcal{H}\) 是齐次的（即 \(\mathcal{H}\) 与标量乘法可交换），两个系统是等价的。(a) 先进行标量乘法再施加 \(\mathcal{H}\)（即 \(y=\mathcal{H}(a x)\)）；(b) 先施加 \(\mathcal{H}\) 再进行标量乘法（即 \(y=a \mathcal{H} x\)）。

加法性和齐次性可以合并为一个性质，即叠加性。特别地，如果对于所有函数 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 以及所有复常数 \(a_{1}\) 和 \(a_{2}\)，系统 \(\mathcal{H}\) 满足：

\[ \mathcal{H}\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}\right)=a_{1} \mathcal{H} x_{1}+a_{2} \mathcal{H} x_{2} \]

则称系统 \(\mathcal{H}\) 具有叠加性（即 \(\mathcal{H}\) 与线性组合可交换）。如果一个系统既是加法性的又是齐次的（或等价地满足叠加性），则称其为线性系统。本质上，系统 \(\mathcal{H}\) 的线性意味着图 3.36 所示的两个系统是等价的。要证明一个系统是线性的，可以证明它同时具有加法性和齐次性，或者直接证明它满足叠加性。实际上，线性系统相比非线性系统更易于设计和分析。

图 3.36：如果 \(\mathcal{H}\) 是线性的（即 \(\mathcal{H}\) 与线性组合可交换），两个系统是等价的。(a) 先计算线性组合再施加 \(\mathcal{H}\)（即 \(y=\mathcal{H}\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}\right)\)）；(b) 先施加 \(\mathcal{H}\) 再计算线性组合（即 \(y=a_{1} \mathcal{H} x_{1}+a_{2} \mathcal{H} x_{2}\)）。

例 3.36
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否线性，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=t x(t) . \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)\)，其中 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 为任意函数，\(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 为任意复常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} a_{1} \mathcal{H} x_{1}(t)+a_{2} \mathcal{H} x_{2}(t) & =a_{1} t x_{1}(t)+a_{2} t x_{2}(t), \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =t x^{\prime}(t) \\ & =t\left[a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)\right] \\ & =a_{1} t x_{1}(t)+a_{2} t x_{2}(t) \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H}\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}\right)=a_{1} \mathcal{H} x_{1}+a_{2} \mathcal{H} x_{2}\) 对所有 \(x_{1}, x_{2}, a_{1}, a_{2}\) 成立，因此系统满足叠加性，是线性的。

例 3.37
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否线性，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=|x(t)| . \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)\)，其中 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 为任意函数，\(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 为任意复常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} a_{1} \mathcal{H} x_{1}(t)+a_{2} \mathcal{H} x_{2}(t) & =a_{1}|x_{1}(t)|+a_{2}|x_{2}(t)|, \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =|x^{\prime}(t)| \\ & =|a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)| \end{aligned} \]

根据三角不等式 (F.16)，\(\mathcal{H}\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}\right)=a_{1} \mathcal{H} x_{1}+a_{2} \mathcal{H} x_{2}\) 并不总是成立。例如，取

\[ a_{1}=-1, \quad x_{1}(t)=1, \quad a_{2}=0, \quad x_{2}(t)=0, \]

则

\[ a_{1} \mathcal{H} x_{1}(t)+a_{2} \mathcal{H} x_{2}(t)=-1, \quad \mathcal{H} x^{\prime}(t)=1 \]

因此，叠加性不成立，该系统不是线性的。

例 3.38
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否线性，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=\operatorname{Odd}(x)(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] . \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)\)，其中 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 为任意函数，\(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 为任意复常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} a_{1} \mathcal{H} x_{1}(t)+a_{2} \mathcal{H} x_{2}(t) & =\frac{1}{2} a_{1}\left[x_{1}(t)-x_{1}(-t)\right]+\frac{1}{2} a_{2}\left[x_{2}(t)-x_{2}(-t)\right] \quad \text { and } \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =\frac{1}{2}\left[x^{\prime}(t)-x^{\prime}(-t)\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)-\left[a_{1} x_{1}(-t)+a_{2} x_{2}(-t)\right]\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[a_{1} x_{1}(t)-a_{1} x_{1}(-t)+a_{2} x_{2}(t)-a_{2} x_{2}(-t)\right] \\ & =\frac{1}{2} a_{1}\left[x_{1}(t)-x_{1}(-t)\right]+\frac{1}{2} a_{2}\left[x_{2}(t)-x_{2}(-t)\right] \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H}\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}\right)=a_{1} \mathcal{H} x_{1}+a_{2} \mathcal{H} x_{2}\) 对所有 \(x_{1}, x_{2}, a_{1}, a_{2}\) 成立，因此该系统是线性的。

例 3.39
确定系统 \(\mathcal{H}\) 是否线性，其中

\[ \mathcal{H} x(t)=x(t) x(t-1) . \]

解答
设 \(x^{\prime}(t)=a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)\)，其中 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 为任意函数，\(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 为任意复常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} a_{1} \mathcal{H} x_{1}(t)+a_{2} \mathcal{H} x_{2}(t) & =a_{1} x_{1}(t) x_{1}(t-1)+a_{2} x_{2}(t) x_{2}(t-1), \\ \mathcal{H} x^{\prime}(t) & =x^{\prime}(t) x^{\prime}(t-1) \\ & =(a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t))(a_{1} x_{1}(t-1)+a_{2} x_{2}(t-1)) \\ & =a_{1}^{2} x_{1}(t)x_{1}(t-1) + a_{1} a_{2} x_{1}(t)x_{2}(t-1) + a_{1} a_{2} x_{1}(t-1)x_{2}(t) + a_{2}^{2} x_{2}(t)x_{2}(t-1) \end{aligned} \]

显然，\(\mathcal{H}\left(a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}\right)\) 与 \(a_{1} \mathcal{H} x_{1}+a_{2} \mathcal{H} x_{2}\) 表达式差异较大。对于许多 \(a_{1}, a_{2}, x_{1}, x_{2}\) 的选择（如 \(a_{1}=2, a_{2}=0, x_{1}(t)=1, x_{2}(t)=0\)），两者不相等。因此，叠加性不成立，该系统不是线性的。

例 3.40（理想积分器）
系统 \(\mathcal{H}\) 由下式定义：

\[ \mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau \]

判断该系统是否具有加法性和/或齐次性，并判断是否线性。

解答
首先，考虑加法性。从 \(\mathcal{H}\) 的定义出发：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x_1(t)+\mathcal{H} x_2(t) & =\int_{-\infty}^t x_1(\tau) d \tau+\int_{-\infty}^t x_2(\tau) d \tau \\ \mathcal{H}\left(x_1+x_2\right)(t) & =\int_{-\infty}^t\left(x_1+x_2\right)(\tau) d \tau \\ & =\int_{-\infty}^t\left[x_1(\tau)+x_2(\tau)\right] d \tau \\ & =\int_{-\infty}^t x_1(\tau) d \tau+\int_{-\infty}^t x_2(\tau) d \tau \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H}\left(x_{1}+x_{2}\right)=\mathcal{H} x_{1}+\mathcal{H} x_{2}\) 对所有 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 成立，因此系统具有加法性。

其次，考虑齐次性。设 \(a\) 为任意复常数：

\[ \begin{aligned} a \mathcal{H} x(t) & = a \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau, \\ \mathcal{H}(a x)(t) & = \int_{-\infty}^{t} (a x)(\tau) d \tau \\ & = \int_{-\infty}^{t} a x(\tau) d \tau \\ & = a \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H}(a x)=a \mathcal{H} x\) 对所有 \(x\) 和 \(a\) 成立，因此系统具有齐次性。

最后，考虑线性。由于系统同时具有加法性和齐次性，因此系统是线性的。

---

例 3.41. 给定一个系统 \(\mathfrak{H}\) 为

\[ \mathcal{H} x(t)=\operatorname{Re}[x(t)] . \]

判定该系统是否具有可加性和/或齐次性，并判定该系统是否为线性系统。

解：首先，检查可加性属性是否满足。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义，我们有

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x_{1}(t)+\mathcal{H} x_{2}(t) & =\operatorname{Re}\left[x_{1}(t)\right]+\operatorname{Re}\left[x_{2}(t)\right], \quad \text {且} \\ \mathcal{H}\left(x_{1}+x_{2}\right)(t) & =\operatorname{Re}\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)(t)\right] \\ & =\operatorname{Re}\left[x_{1}(t)+x_{2}(t)\right] \\ & =\operatorname{Re}\left[x_{1}(t)\right]+\operatorname{Re}\left[x_{2}(t)\right]. \end{aligned} \]

由于对所有 \(x_{1}\) 和 \(x_{2}\) 都有 \(\mathcal{H}\left(x_{1}+x_{2}\right)=\mathcal{H} x_{1}+\mathcal{H} x_{2}\)，该系统是可加的。

其次，检查齐次性属性是否满足。设 \(a\) 为任意复常数。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义，有

\[ \begin{aligned} a \mathcal{H} x(t) & =a \operatorname{Re}[x(t)], \quad \text {且} \\ \mathcal{H}(a x)(t) & =\operatorname{Re}[(a x)(t)] \\ & =\operatorname{Re}[a x(t)]. \end{aligned} \]

为了使 \(\mathcal{H}\) 齐次，必须对所有 \(x\) 和所有复数 \(a\) 满足 \(a \mathcal{H} x(t)=\mathcal{H}(a x)(t)\)。假设 \(a=j\) 且 \(x\) 非零（即 \(x\) 不是函数 \(x(t)=0\)）。此时有

\[ \begin{aligned} a \mathcal{H} x(t) & =j \operatorname{Re}[x(t)], \quad \text {且} \\ \mathcal{H}(a x)(t) & =\operatorname{Re}[(j x)(t)] \\ & =\operatorname{Re}[j x(t)] \\ & =\operatorname{Re}[j(\operatorname{Re}[x(t)]+j \operatorname{Im}[x(t)])] \\ & =\operatorname{Re}(-\operatorname{Im}[x(t)]+j \operatorname{Re}[x(t)]) \\ & =-\operatorname{Im}[x(t)]. \end{aligned} \]

显然，\(\mathcal{H}(a x)\) 与 \(a \mathcal{H} x\) 不相等。因此，该系统不具有齐次性。

最后，考虑线性属性。由于该系统不同时具备可加性和齐次性，因此它不是线性系统。

3.8.7 特征函数

系统 \(\mathcal{H}\) 的特征函数是满足

\[ \mathcal{H} x = \lambda x \]

的函数 \(x\)，其中 \(\lambda\) 为某个复常数，称为特征值。换句话说，如果 \(x\) 是 \(\mathcal{H}\) 的特征函数，则 \(\mathcal{H} x\) 是 \(x\) 的一个标量倍（即某个常数乘以 \(x\)）。本质上，当系统的输入为其特征函数之一时，系统表现得像理想放大器（即执行幅度缩放）。特征函数性质的重要性不可低估。无论系统多么复杂，其对特征函数的行为都极为简单。我们经常可以利用这种简单性来降低解决涉及系统问题的复杂性。实际上，正如我们稍后将看到的，特征函数几乎构成了许多研究系统所使用的数学工具的基础。

例 3.42
考虑由下式描述的系统 \(\mathcal{H}\)：

\[ \mathcal{H} x(t) = \mathcal{D}^{2} x(t), \]

其中 \(\mathcal{D}\) 表示微分算子。对于下列每个函数 \(x\)，判断其是否为 \(\mathcal{H}\) 的特征函数，如果是，则求对应的特征值。
(a) \(x(t)=\cos (2 t)\)；
(b) \(x(t)=t^{3}\)。

解答
(a) 令 \(x(t) = \cos(2t)\)。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x(t) & = \mathcal{D}^{2}\{\cos (2 t)\}(t) \\ & = \mathcal{D}\{-2 \sin (2 t)\}(t) \\ & = -4 \cos (2 t) \\ & = -4 x(t) \end{aligned} \]

因此，\(\mathcal{H} x\) 是 \(x\) 的标量倍（标量倍为 -4）。所以，\(x\) 是 \(\mathcal{H}\) 的特征函数，特征值为 -4。

(b) 令 \(x(t) = t^3\)。根据 \(\mathcal{H}\) 的定义：

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} x(t) & = \mathcal{D}^{2}\{t^3\}(t) \\ & = \mathcal{D}\{3 t^2\}(t) \\ & = 6 t \\ & = \frac{6}{t^2} x(t) \end{aligned} \]

由于 \(\mathcal{H} x\) 不是 \(x\) 的标量倍，因此 \(x\) 不是 \(\mathcal{H}\) 的特征函数。

例 3.43（理想放大器）
考虑系统 \(\mathcal{H}\)：

\[ \mathcal{H} x(t) = a x(t), \]

其中 \(a\) 为复常数。显然，每个函数都是 \(\mathcal{H}\) 的特征函数，特征值均为 \(a\)。

3.9 练习题

3.9.1 无答案练习题

3.1 对于下列函数 \(y\)，确定为了得到 \(y\)，必须对函数 \(x\) 施加哪些自变量和因变量变换。选择变换顺序时，保证时间平移在时间缩放之前，幅度缩放在幅度平移之前。并清晰标明变换的施加顺序。
(a) \(y(t) = x(2 t - 1)\)；
(b) \(y(t) = x\left(\frac{1}{2} t + 1\right)\)；
(c) \(y(t) = 2 x\left(-\frac{1}{2} t + 1\right) + 3\)；
(d) \(y(t) = -\frac{1}{2} x(-t + 1) - 1\)；
(e) \(y(t) = -3 x(2 [t-1]) - 1\)；
(f) \(y(t) = x(7 [t+3])\)。

3.2 对于下列每对函数 \(x\) 和 \(y\)，用 \(x\) 表示 \(y\)，并尽量使表达式的项数最少。

(a)

(b)

(c)

3.3 假设两个函数 \(x\) 和 \(y\) 满足关系

\[ y(t) = x(a t - b), \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 为实常数，且 \(a \neq 0\)。
(a) 证明 \(y\) 可通过先对 \(x\) 平移 \(b\) 单位时间，再对结果进行时间缩放 \(a\) 单位得到。
(b) 证明 \(y\) 也可通过先对 \(x\) 进行时间缩放 \(a\) 单位，再对结果平移 \(\frac{b}{a}\) 单位得到。

3.4 给定下图所示函数 \(x\)，绘制并标注下列函数：
(a) \(x(t-1)\)；
(b) \(x(2 t)\)；
(c) \(x(-t)\)；
(d) \(x(2 t+1)\)；
(e) \(\frac{1}{4} x\left(-\frac{1}{2} t + 1\right) - \frac{1}{2}\)。

3.5 给定函数

\[ x(t) = u(t+2) + u(t+1) + u(t) - 2 u(t-1) - u(t-2), \]

求并绘制 \(y(t) = x(-4 t - 1)\)。

3.6 判断下列函数 \(x\) 是否为周期函数，若是，求其基周期。
(a) \(x(t) = \cos (2 \pi t) + \sin (5 t)\)；
(b) \(x(t) = \left[\cos \left(4 t - \frac{\pi}{3}\right)\right]^2\)；
(c) \(x(t) = e^{j 2 \pi t} + e^{j 3 \pi t}\)；
(d) \(x(t) = 1 + \cos(2 t) + e^{j 5 t}\)；
(e) \(x(t) = \cos(14 t - 1) + \cos(77 t - 3)\)；
(f) \(x(t) = \cos(e t) + \sin(42 t)\)；
(g) \(x(t) = |\sin (\pi t)|\)；
(h) \(x(t) = \cos(6 \sqrt{2} t) + \sin(15 \sqrt{2} t)\)。

3.7 如果函数 \(x\) 是 \(T\)-周期的，证明在下列情况下函数 \(y\) 也是 \(T\)-周期的：
(a) \(y(t) = c x(t)\)，其中 \(c\) 为复常数；
(b) \(y(t) = x(t) + c\)，其中 \(c\) 为复常数；
(c) \(y(t) = x(t - c)\)，其中 \(c\) 为实常数。

3.8 设函数 \(y\) 为

\[ y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - T k), \]

其中 \(x\) 为任意函数，\(T > 0\)。证明 \(y\) 是 \(T\)-周期的。

3.9 判断下列函数 \(x\) 是偶函数、奇函数，还是既非偶也非奇。
(a) \(x(t) = t^3\)；
(b) \(x(t) = t^3 |t|\)；
(c) \(x(t) = |t^3|\)；
(d) \(x(t) = \cos(2 \pi t) \sin(2 \pi t)\)；
(e) \(x(t) = e^{j 2 \pi t}\)；
(f) \(x(t) = \frac{1}{2} [e^t + e^{-t}]\)。 3.10 证明下列命题：
(a) 两个偶函数的和是偶函数。
(b) 两个奇函数的和是奇函数。
(c) 一个偶函数与一个奇函数的和（且两函数均不恒为零）既非偶也非奇。
(d) 两个偶函数的积是偶函数。
(e) 两个奇函数的积是偶函数。
(f) 一个偶函数与一个奇函数的积是奇函数。

3.11 证明，如果 \(x\) 是奇函数，则

\[ \int_{-A}^{A} x(t) d t = 0 \]

其中 \(A\) 为正实常数。

3.12 证明，对于任意函数 \(x\)，

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}(t) d t = \int_{-\infty}^{\infty} x_{\mathrm{e}}^{2}(t) d t + \int_{-\infty}^{\infty} x_{\mathrm{o}}^{2}(t) d t \]

其中 \(x_{\mathrm{e}}\) 和 \(x_{\mathrm{o}}\) 分别为 \(x\) 的偶部分和奇部分。

3.13 设 \(x\) 的导数为 \(y\)。
(a) 证明如果 \(x\) 是偶函数，则 \(y\) 是奇函数。
(b) 证明如果 \(x\) 是奇函数，则 \(y\) 是偶函数。

3.14 对任意函数 \(x\)，其偶部分和奇部分分别为 \(x_{\mathrm{e}}\) 和 \(x_{\mathrm{o}}\)，证明：
(a) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x_{\mathrm{e}}(t) x_{\mathrm{o}}(t) d t = 0\)；
(b) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x(t) d t = \int_{-\infty}^{\infty} x_{\mathrm{e}}(t) d t\)。

3.15 证明：
(a) 如果函数 \(x\) 是 \(T\)-周期且偶函数，则

\[ \int_{0}^{T} x(t) d t = 2 \int_{0}^{T/2} x(t) d t \]

(b) 如果函数 \(x\) 是 \(T\)-周期且奇函数，则

\[ \int_{0}^{T} x(t) d t = 0 \]

3.16 证明，唯一既是偶函数又是奇函数的函数是零函数（即 \(x(t) = 0\) 对所有 \(t\) 都成立）。

3.17 对于下列情况，已知函数 \(x\) 具有给定性质，求 \(x(t)\) 对所有 \(t\) 的表达式。

(a) 函数 \(x\) 满足：
- \(x(t) = \begin{cases} t-1 & 1 \le t \le 2 \\ 3-t & 2 < t \le 3 \end{cases}\)
- 函数 \(v\) 是因果的，其中 \(v(t) = x(t-1)\)；
- 函数 \(w\) 是奇函数，其中 \(w(t) = x(t+1)\)。

(b) 函数 \(x\) 满足：
- \(x(t) = t-1\) 对 \(0 \le t \le 1\)；
- 函数 \(v\) 是因果的，其中 \(v(t) = x(t-1)\)；
- 函数 \(w\) 是奇函数，其中 \(w(t) = x(t) + 1\)。

(c) 函数 \(x\) 满足：
- \(x\) 是因果的；
- 函数 \(x_{\mathrm{e}} = \operatorname{Even}(x)\) 已知为 \(x_{\mathrm{e}}(t) = t[u(t)-u(t-1)] + u(t-1)\) 对 \(t \ge 0\)。

(d) 函数 \(x\) 满足：
- 函数 \(v\) 是偶函数，其中 \(v(t) = x(t+1)\)；
- 函数 \(w\) 是因果的，其中 \(w(t) = x(t-1)-1\)；
- \(x(t) = -t\) 对 \(-1 \le t \le 1\)。

3.18 设 \(E x\) 表示函数 \(x\) 的能量，证明：
(a) \(E\{a x\} = a^2 E x\)，其中 \(a\) 是实常数；
(b) \(E x' = E x\)，其中 \(x'(t) = x(t-t_0)\) 且 \(t_0\) 是实常数；
(c) \(E x' = \frac{1}{|a|} E x\)，其中 \(x'(t) = x(a t)\) 且 \(a \neq 0\) 为实常数。

3.19 证明，如果函数 \(x\) 是共轭对称的，则：
(a) \(\operatorname{Re} x(t) = \operatorname{Even} x(t)\) 对所有 \(t\) 成立；
(b) \(\operatorname{Im} x(t) = \frac{1}{j} \operatorname{Odd} x(t)\) 对所有 \(t\) 成立。

3.20 对下列积分表达式进行完全化简：
(a) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin \left(2 t + \frac{\pi}{4}\right) \delta(t) dt\)；
(b) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{t} \cos(\tau) \delta(\tau + \pi) d\tau\)；
(c) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(a t - b) dt\)，其中 \(a \neq 0\)；
(d) \(\displaystyle \int_{0}^{2} e^{j 2 t} \delta(t-1) dt\)；
(e) \(\displaystyle \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau\)；
(f) \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \tau^2 \cos(\tau) \delta(\tau + 42) d\tau\)；
(g) \(\displaystyle \int_{t+1}^{\infty} (\tau^2 + 1) \delta(\tau - 3) d\tau\)；
(h) \(\displaystyle \frac{1}{9} \int_{-\infty}^{\infty} (\tau + 6)^2 \delta(1 - \tau/3) d\tau\)；
(i) \(\displaystyle \int_{t-2}^{t-1} (\tau - 1)^2 \delta(\tau - 3) d\tau\)。

3.21 假设我们有下图所示的函数 \(x\)。使用单位阶跃函数（unit-step functions）来找到一个在所有 \(t\) 上都有效的 \(x(t)\) 的单一表达式。

3.22 对下列给出的每个函数 \(x\)，求一个 \(x\) 的单一表达式（即不涉及多个分段情况的表达式）。在 \(x\) 的表达式中，将类似的单位阶跃函数项组合在一起。

(a) \(x(t) = \begin{cases} -t-3 & -3 \le t < -2 \\ -1 & -2 \le t < -1 \\ t^3 & -1 \le t < 1 \\ 1 & 1 \le t < 2 \\ -t+3 & 2 \le t < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)
(b) \(x(t) = \begin{cases} -1 & t < -1 \\ t & -1 \le t < 1 \\ 1 & t \ge 1 \end{cases}\)
(c) \(x(t) = \begin{cases} 4t+4 & -1 \le t < -\frac{1}{2} \\ 4 t^2 & -\frac{1}{2} \le t < \frac{1}{2} \\ -4 t + 4 & \frac{1}{2} \le t < 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)

3.23 对下图所示的系统，用输入 \(x\) 以及变换 \(\mathcal{H}_{1}, \mathcal{H}_{2}, \ldots, \mathcal{H}_{5}\) 表示输出 \(y\)。

3.24 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否为无记忆系统（memoryless）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{2 t} x(\tau) d \tau\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=x(t-1)+1\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{t}^{\infty} x(\tau) d \tau\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) \delta(\tau) d \tau\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=t x(t)\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d \tau\)。

3.25 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否为因果系统（causal）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{2 t} x(\tau) d \tau\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=x(t-1)+1\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{t}^{\infty} x(\tau) d \tau\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) \delta(\tau) d \tau\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(t-\tau) d \tau\)。

3.26 对下列系统 \(\mathcal{H}\)，判断其是否可逆（invertible），若可逆，请给出其逆系统。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=x(a t-b)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 为实常数且 \(a \neq 0\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=e^{x(t)}\)，其中 \(x\) 为实函数；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)-\operatorname{Odd}(x)(t)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\mathcal{D} x(t)\)，其中 \(\mathcal{D}\) 表示求导算子；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=x^{2}(t)\)。

3.27 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否 BIBO 稳定（BIBO stable）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{t}^{t+1} x(\tau) d \tau\) [提示：对于任意函数 \(f\)，有 \(\left|\int_{a}^{b} f(x) dx\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| dx\)]；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\frac{1}{2} x^{2}(t)+x(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=1 / x(t)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=e^{-|t|} x(t)\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=\left(\frac{1}{t-1}\right) x(t)\)。

3.28 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否时不变（time invariant）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\mathcal{D} x(t)\)，其中 \(\mathcal{D}\) 表示求导算子；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{t}^{t+1} x(\tau-\alpha) d \tau\)，其中 \(\alpha\) 为常数；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau\)，其中 \(h\) 为任意固定函数；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=x(-t)\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{2 t} x(\tau) d \tau\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=3 x(t-1)\)。

3.29 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否线性（linear）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{t-1}^{t+1} x(\tau) d \tau\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=e^{x(t)}\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=x^{2}(t)\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau\)，其中 \(h\) 为任意固定函数。

3.30 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否具有加性（additive）和/或齐次性（homogeneous）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=x^{*}(t)\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Im}[x(t)]\)。

3.31 证明：若系统 \(\mathcal{H}\) 具有加性或齐次性，则对于恒为零的函数 \(x\)（即 \(x(t)=0\) 对所有 \(t\) 成立），输出 \(\mathcal{H} x\) 也恒为零（即 \(\mathcal{H} x(t)=0\) 对所有 \(t\) 成立）。

3.32 设 \(z\) 为恒为零的函数（即 \(z(t)=0\) 对所有 \(t\) 成立）。证明：线性系统 \(\mathcal{H}\) 可逆的充分必要条件是 \(\mathcal{H} x=z\) 蕴含 \(x=z\)（即唯一能产生输出 \(y=z\) 的输入 \(x\) 是 \(x=z\)）。

3.33 对下列系统 \(\mathcal{H}\) 及函数 \(\left\{x_{k}\right\}\)，判断每个 \(x_{k}\) 是否为 \(\mathcal{H}\) 的特征函数（eigenfunction），若是，请同时写出对应的特征值。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=x^{2}(t)\)，\(x_{1}(t)=a\)，\(x_{2}(t)=e^{-a t}\)，\(x_{3}(t)=\cos t\)，其中 \(a\) 为复常数；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\mathcal{D} x(t)\)，\(x_{1}(t)=e^{a t}\)，\(x_{2}(t)=e^{a t^{2}}\)，\(x_{3}(t)=42\)，其中 \(\mathcal{D}\) 表示求导算子，\(a\) 为实常数；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{t-1}^{t} x(\tau) d \tau\)，\(x_{1}(t)=e^{a t}\)，\(x_{2}(t)=t\)，\(x_{3}(t)=\sin t\)，其中 \(a\) 为非零复常数；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=|x(t)|\)，\(x_{1}(t)=a\)，\(x_{2}(t)=t\)，\(x_{3}(t)=t^{2}\)，其中 \(a\) 为严格正实数。

3.9.2 带答案的练习

3.101 对于下列每种情况，函数 \(y\) 由函数 \(x\) 通过应用给定的（有序）变换序列生成（从 \(y\) 开始），将 \(y\) 用 \(x\) 表示。
(a) 时间平移 3；时间缩放 2；
(b) 时间缩放 2；时间平移 3。

简答：（a）\(y(t)=x(2 t-3)\)；（b）\(y(t)=x(2 t-6)\)

3.102 对于下列每个函数 \(x\)，判断 \(x\) 是否为周期函数，若是，求其基本周期 \(T\)。
(a) \(x(t)=3 \cos (\sqrt{2} t)+7 \cos (2 t)\)；
(b) \(x(t)=[3 \cos (2 t)]^{3}\)；
(c) \(x(t)=7 \cos (35 t+3)+5 \sin (15 t-2)\)。

简答：（a）非周期；（b）\(\pi\)-周期；（c）\(\frac{2 \pi}{5}\)-周期

3.103 对于下列每种情况，函数 \(x\)（实变量函数）具有所述性质，求 \(x(t)\) 对所有 \(t\) 的表达式。
(a) \(x\) 满足：
- \(x(t)=1-t\)，当 \(0 \leq t \leq 1\)；
- 函数 \(w\) 是偶函数，其中 \(w(t)=x(t+1)\)；
- 函数 \(v\) 是因果函数，其中 \(v(t)=x(t)-1\)。

(b) \(x\) 满足：
- \(x(t)=e^{t+4}\)，当 \(t<-4\)；
- \(x(t)=a\)，当 \(-4 \leq t \leq-2\)，\(a\) 为实常数；
- 函数 \(v(t)=x(t-3)\) 是奇函数。

(c) \(x\) 满足：
- \(v(t)=x(t)+1\) 是因果函数；
- \(w(t)=x(-t)-1\) 是因果函数；
- \(x(0)=0\)。

(d) \(x\) 满足：
- \(x(t)=1\)，当 \(2<t \leq 3\)；
- \(v_{1}(t)=x(t+1)\) 是因果函数；
- \(v_{2}(t)=x(t+3)\) 是反因果函数；
- \(v_{3}(t)=x(t+2)\) 是奇函数。

(e) \(x\) 满足：
- \(x(t)=t-1\)，当 \(1 \leq t \leq 2\)；
- \(x\) 是因果函数；
- \(v_{1}(t)=x(t+2)\) 是反因果函数；
- \(v_{2}(t)=x(t+1)\) 是偶函数。

(f) \(x\) 满足：
- 偶函数部分 Even \(x(t)=t\)，当 \(t \leq 0\)；
- 奇函数部分 Odd \(x(t)=t^{2}\)，当 \(t>0\)。

(g) \(x\) 满足：
- \(v(t)=x(t+2)\) 是共轭对称函数；
- \(x(t)=j[u(t-3)-u(t-5)]\)，当 \(t \geq 2\)。

(h) \(x\) 满足：
- \(v(t)=x(t)-1\) 是因果函数；
- \(x\) 是奇函数。

(i) \(x\) 满足：
- \(\operatorname{Re} x(t)=t\)，当 \(t \geq 0\)；
- \(\operatorname{Im} x(t)=t^{2}\)，当 \(t<0\)；
- \(x\) 是共轭对称函数。

(j) \(x\) 满足：
- \(x(t)=2-t\)，当 \(0 \leq t<1\)；
- \(v(t)=x(t)-2\) 是因果函数；
- \(w(t)=x(t+1)\) 是奇函数。

(k) \(x\) 满足：
- \(v(t)=\operatorname{Odd}\{x\}(t)+1\) 是因果函数；
- \(w(t)=\operatorname{Even}\{x\}(t)-1\) 是因果函数；
- Even \(\{x\}(0)=2\)。

简答：

(a) \(x(t)= \begin{cases}1-t & 0 \leq t \leq 1 \\ t-1 & 1<t \leq 2 \\ 1 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(b) \(x(t)= \begin{cases}e^{t+4} & t<-4 \\ 0 & -4 \leq t \leq-2 \\ -e^{-t-2} & t>-2\end{cases}\)
(c) \(x(t)=\operatorname{sgn}(t)\)
(d) \(x(t)= \begin{cases}-1 & 1 \leq t<2 \\ 1 & 2<t \leq 3 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(e) \(x(t)= \begin{cases}1-t & 0 \leq t<1 \\ t-1 & 1 \leq t \leq 2 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(f) \(x(t)=\left(t^{2}-t\right) \operatorname{sgn}(t)\)
(g) \(x(t)= \begin{cases}-j & -1<t \leq 1 \\ j & 3 \leq t<5 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(h) \(x(t)=-\operatorname{sgn}(t)\)
(i) \(x(t)=\left(t-j t^{2}\right) \operatorname{sgn}(t)\)
(j) \(x(t)= \begin{cases}2 & t<0 \\ 2-t & 0 \leq t<1 \\ 0 & t=1 \\ -t & 1<t \leq 2 \\ -2 & t>2 \end{cases}\)
(k) \(x(t)=2 u(t)\) 3.104 判断下列函数 \(x\) 是否为偶函数、奇函数或既非偶也非奇。
(a) \(x(t)=e^{-|t|} \sin (t)\)；
(b) \(x(t)=e^{-t^{2}} \cos (t)\)。

简答：（a）奇函数；（b）偶函数

3.105 化简下列各表达式：
(a) \(\frac{\left(\omega^{2}+1\right) \delta(\omega-1)}{\omega^{2}+9}\)；
(b) \(\frac{\sin (k \omega) \delta(\omega)}{\omega}\)；
(c) \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{t-1} \cos \left[\frac{\pi}{2}(t-5)\right] \delta(t-3) d t\)；
(d) \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(2 t-3) \sin (\pi t) d t\)；
(e) \(\int_{t}^{\infty}\left(\tau^{2}+1\right) \delta(\tau-2) d \tau\)；
(f) \(\int_{-4}^{4} e^{-\tau} \cos (\tau) \delta\left(\tau-\frac{\pi}{3}\right) d \tau+\int_{-2}^{2} \tau^{2} \cos (\tau) \delta(\tau-\pi) d \tau\)；
(g) \(\left(t^{2}+1\right)^{4} e^{-t} \operatorname{sinc}(t) \delta(t-\pi)\)。

简答：（a）\(\frac{1}{5} \delta(\omega-1)\)；（b）\(k \delta(\omega)\)；（c）\(-e^{2}\)；（d）\(-\frac{1}{2}\)；（e）\(5 u(2-t)\)；（f）\(\frac{1}{2} e^{-\pi / 3}\)；（g）0

3.106 对下列函数 \(x\)，求一个单一表达式（不使用多重分段），若 \(x\) 由有限项组成，将类似单位阶跃函数项合并。
(a) \(x(t)=1-t^{2}\)，当 \(-1 \leq t<1\) 且 \(x(t)=x(t-2)\) 对所有 \(t\) 成立；
(b) \(x(t)= \begin{cases}-e^{t+1} & t<-1 \\ t & -1 \leq t<1 \\ (t-2)^{2} & 1 \leq t<2 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)；
(c) \(x(t)= \begin{cases}(t / \pi+1)^{2} & t<-\pi \\ \cos (t / 2) & -\pi \leq t \leq \pi \\ (t / \pi-1)^{2} & t>\pi \end{cases}\)；
(d) \(x(t)= \begin{cases}t+2 & -2 \leq t<-1 \\ t^{2} & -1 \leq t \leq 1 \\ 1 & t>1 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)。

简答：
(a) \(x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(-t^{2}+4 k t-4 k^{2}+1\right)[u(t-2 k+1)-u(t-2 k-1)]\)
(b) \(x(t)=-e^{t+1}+\left(t+e^{t+1}\right) u(t+1)+(t-1)(t-4) u(t-1)-(t-2)^{2} u(t-2)\)
(c) \(x(t)=(t / \pi+1)^{2}+\left[\cos (t / 2)-(t / \pi+1)^{2}\right] u(t+\pi)+\left[(t / \pi-1)^{2}-\cos (t / 2)\right] u(t-\pi)\)
(d) \(x(t)=(t+2) u(t+2)+\left[t^{2}-t-2\right] u(t+1)+\left[1-t^{2}\right] u(t-1)\)

3.107 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否为无记忆系统（memoryless）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=u[x(t)]\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=x[u(t)]\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=42\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=x\left(t^{2}\right)\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} 2 x(\tau) \delta(\tau-t) d \tau\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=[x(t+1)]^{-1}\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=x(-t)\)；
(h) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(\tau-t-2) d \tau\)。

简答：（a）无记忆；（b）有记忆；（c）无记忆；（d）有记忆；（e）无记忆；（f）有记忆；（g）有记忆；（h）有记忆

3.108 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否为因果系统（causal）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=x(a t)\)，其中 \(a\) 为非零实常数；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=t u(t) x(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=x(t-a)\)，其中 \(a\) 为严格负实常数；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=[x(t+1)]^{-1}\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=x(-t)\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(t-\tau-1) d \tau\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(\tau-t-3) d \tau\)。

简答：（a）当且仅当 \(a=1\) 时因果；（b）因果；（c）非因果；（d）非因果；（e）非因果；（f）因果；（g）非因果 3.109 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否可逆。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\cos [x(t)]\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=x * x(t)\)，其中 \(f * g(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even} x(t)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Re} x(t)\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=|x(t)|\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=2 x(t)+3\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=x(t)+x(t-1)\)；
(h) \(\mathcal{H} x(t)=2 \operatorname{Even}\{x\}(t)-\operatorname{Odd}\{x\}(t)\)；
(i) \(\mathcal{H} x(t)=a x(t)+b\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 为实常数。

简答：（a）不可逆；（b）不可逆；（c）不可逆；（d）不可逆；（e）不可逆；（f）可逆；（g）不可逆；（h）可逆；（i）当且仅当 \(a \neq 0\) 时可逆

3.110 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否 BIBO 稳定。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=u(t) x(t)\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\ln x(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=e^{x(t)}\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=e^{t} x(t)\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=\cos [x(t)]\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=x * x(t)\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=3 x(3 t+3)\)；
(h) \(\mathcal{H} x(t)=2 x(t)+1\)；
(i) \(\mathcal{H} x(t)=\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}(t)\)。

简答：（a）BIBO 稳定；（b）不 BIBO 稳定；（c）BIBO 稳定；（d）不 BIBO 稳定；（e）BIBO 稳定（若 \(x\) 为实值或复值）；（f）不 BIBO 稳定；（g）BIBO 稳定；（h）BIBO 稳定；（i）不 BIBO 稳定

3.111 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否时不变。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-4}^{4} x(\tau) d \tau\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\mathcal{D}\left\{x^{2}\right\}(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=t u(t) x(t)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) x(t-\tau) d \tau\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=3 x(3 t+3)\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=x(t)+x(t-1)\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=e^{t} x(t)\)。

简答：（a）非时不变；（b）时不变；（c）非时不变；（d）非时不变；（e）非时不变；（f）时不变；（g）非时不变

3.112 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否线性。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\frac{1}{3}[x(t)-2]\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\mathcal{D} x(t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=t u(t) x(t)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) x(t-\tau) d \tau\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=t^{2} \mathcal{D}^{2} x(t)+t \mathcal{D} x(t)\)；
(f) \(\mathcal{H} x(t)=3 x(3 t+3)\)；
(g) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-1}^{1} x(\tau) d \tau\)；
(h) \(\mathcal{H} x(t)=|t| x(t)\)；
(i) \(\mathcal{H} x(t)=(t+1)^{2} x(t)\)；
(j) \(\mathcal{H} x(t)=42\)；
(k) \(\mathcal{H} x(t)=0\)；
(l) \(\mathcal{H} x(t)=[x(t)]^{-1}\)。

简答：（a）非线性；（b）线性；（c）线性；（d）非线性；（e）线性；（f）线性；（g）线性；（h）线性；（i）线性；（j）非线性；（k）线性；（l）非线性 3.113 判断下列系统 \(\mathcal{H}\) 是否可加（additive）和/或齐次（homogeneous）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\frac{x^{2}(t)}{\mathcal{D} x(t)}\)，其中 \(\mathcal{D}\) 表示求导算子。

简答：（a）齐次但不可加

3.114 对于下列系统 \(\mathcal{H}\) 及函数集合 \(\{x_k\}\)，判断每个 \(x_k\) 是否是 \(\mathcal{H}\) 的本征函数（eigenfunction），若是，说明对应的本征值（eigenvalue）。
(a) \(\mathcal{H} x(t)=\mathcal{D}^{2} x(t)\)，\(x_{1}(t)=\cos t, x_{2}(t)=\sin t, x_{3}(t)=42\)；
(b) \(\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau\)，\(x_{1}(t)=e^{2 t}, x_{2}(t)=e^{t} u(-t)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(t)=t^{2} \mathcal{D}^{2} x(t)+t \mathcal{D} x(t)\)，\(x_{1}(t)=t^{k}\)，\(k \ge 2\) 为整数；
(d) \(\mathcal{H} x(t)=u(t) x(t)\)，\(x_{1}(t)=0, x_{2}(t)=1, x_{3}(t)=u(t+1), x_{4}(t)=u(t-1)\)；
(e) \(\mathcal{H} x(t)=t \mathcal{D} x(t)\)，\(x_{1}(t)=3 t^{2}, x_{2}(t)=\pi\)。

简答：
(a) \(x_{1}\) 是本征函数，本征值 \(-1\)；\(x_{2}\) 是本征函数，本征值 \(-1\)；\(x_{3}\) 是本征函数，本征值 \(0\)；
(b) \(x_{1}\) 是本征函数，本征值 \(\frac{1}{2}\)；\(x_{2}\) 不是本征函数；
(c) \(x_{1}\) 是本征函数，本征值 \(k^{2}\)；
(d) \(x_{1}\) 是本征函数，本征值 \(0\)；\(x_{2}\) 不是本征函数；\(x_{3}\) 不是本征函数；\(x_{4}\) 是本征函数，本征值 \(1\)；
(e) \(x_{1}\) 是本征函数，本征值 \(2\)；\(x_{2}\) 是本征函数，本征值 \(0\)

3.9.3 MATLAB 练习

3.201 对下列数学函数 \(f\)，编写一个 MATLAB 函数（自拟函数名），输入一个 \(m \times n\) 矩阵 \(t\)，返回同尺寸矩阵 \(x\)，使得 \(x_{i,j}=f(t_{i,j})\)。MATLAB 函数不得使用条件语句（如 if）或循环结构（如 for 或 while）。

(a) \(f(t)=\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\right) e^{-|t / 10|} \cos \left(\frac{t}{2 \pi}\right)\)
(b) \(f(t)=\left(t^{2}+1\right)^{-1}+t e^{-|t|} \sin (2 t)\)
(c) \(f(t)= \begin{cases}\frac{1}{2} & 0 \leq \sin (t)<\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & \sin (t)>\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(d) \(f(t)=\operatorname{rect}(t)\)
(e) \(f(t)=\operatorname{tri}(t / 2)= \begin{cases}1-|t| & -1 \leq t \leq 1 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(f) \(f(t)= \begin{cases}e^{t} & t<0 \\ 1 & 0 \leq t<1 \\ e^{1-t} & t \geq 1\end{cases}\)
(g) \(f(t)= \begin{cases}|\sin (\pi t)| & |t| \leq 1 \\ |t|-1 & 1<|t| \leq 2 \\ 1 & \text { otherwise }\end{cases}\)
(h) \(f(t)= \begin{cases}0 & t<0 \\ \frac{1}{2} & t=0 \\ 1 & t>0 \end{cases}\)
(i) \(f(t)= \begin{cases}t^{-2} & t \geq 1 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
[提示：注意避免除以零。]

3.202 编写一个 MATLAB 函数（自拟函数名），输入一个单变量函数 \(x\)，返回函数 \(y\)，如下所示：
(a) \(y=\operatorname{Even}(x)\)；
(b) \(y=\operatorname{Odd}(x)\)；
(c) \(y(t)=x(-t)\)；
(d) \(y(t)= \begin{cases}x(t) & x(t) \geq 0 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)
[提示：使用匿名函数。]

3.203 编写一个名为 plot_even_odd_parts 的函数，输入参数 func 和 range，其中 func 是一个函数，range 为包含上下界的二元素向量。该函数应在 3×1 网格中绘制函数 func 及其偶函数和奇函数部分。使用 fplot 进行绘图。例如，调用 plot_even_odd_parts(@exp, [-4 4]) 会绘制指数函数及其偶、奇部分，如下图所示：