第9章 离散时间线性时不变系统
9.1 引言
在前一章中，我们确定了系统可能具备的若干特性。其中两项特性是线性性和时不变性。在本章中，我们将注意力集中于同时具备这两种特性的系统。这类系统称为线性时不变（LTI）系统。
9.2 离散时间卷积
在 LTI 系统的背景下，一种称为卷积的数学运算显得尤为重要。序列 \(x\) 和 \(h\) 的卷积，记作 \(x * h\)，定义为序列
\[
\begin{equation*}
x * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(n-k) \tag{9.1}
\end{equation*}
\]
在此，星号（即 "*"）用于表示卷积，而非乘法。区分卷积与乘法非常重要，因为这两种运算本质上不同，通常不会得到相同的结果。
符号上，\(x * h\) 表示一个序列，即 \(x\) 与 \(h\) 卷积后的序列。相比之下，\(x * h(n)\) 表示在 \(n\) 处对序列 \(x * h\) 的取值。虽然我们可以用额外的一对括号写作 \((x * h)(n)\)，但通常省略这对括号，因为这样不会引入歧义，并且表示更简洁。换言之，在表达式 \(x * h(n)\) 中，运算的组合方式只有一种合理解释。写作 \(x *[h(n)]\) 是不合理的，因为卷积需要两个序列作为操作数，而 \(h(n)\) 并不是序列，而是 \(h\) 在 \(n\) 处的值。因此，表达式 \(x * h(n)\) 唯一合理的解释是 \((x * h)(n)\)。
由于卷积运算在系统理论中被广泛使用，我们需要一些实用方法来计算卷积和。假设对于给定的序列 \(x\) 和 \(h\)，我们希望计算
\[
x * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(n-k)
\]
当然，我们可以天真地尝试通过对每一个可能的 \(n\) 值单独求和来计算 \(x * h(n)\)。然而，这种方法不可行，因为 \(n\) 可以取无限多个值，因此需要进行无限次求和。相反，我们考虑一种略有不同的方法。令我们用中间序列 \(w_{n}(k)\) 重新定义求和，其中
\[
w_{n}(k)=x(k) h(n-k)
\]
（注意 \(w_{n}(k)\) 隐含地是 \(n\) 的函数。）这意味着我们需要计算
\[
x * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} w_{n}(k)
\]
现在我们观察到，对于大多数实际感兴趣的序列 \(x\) 和 \(h\)，\(w_{n}(k)\) 的形式通常在特定的 \(n\) 范围内保持不变。因此，我们可以通过首先确定每个不同的 \(w_{n}(k)\) 表达式及其适用范围，然后在每个范围内进行求和，来计算卷积结果 \(x * h\)。通过这种方式，我们通常只需要计算少量求和，而不是前述天真方法所需的无限求和。
上面的讨论引出了一种计算卷积的一般方法：
- 绘制 \(x(k)\) 和 \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的图像。
- 最初，考虑 \(n\) 取一个任意大的负值。这将导致 \(h(n-k)\) 在时间轴上被向左移动很远。
- 写出 \(w_{n}(k)\) 的数学表达式。
- 逐渐增加 \(n\)，直到 \(w_{n}(k)\) 的表达式形式发生变化。记录该表达式有效的区间。
- 重复步骤 3 和 4，直到 \(n\) 取一个任意大的正值。这对应于 \(h(n-k)\) 在时间轴上被向右移动很远。
- 对上面确定的每个区间，求 \(w_{n}(k)\) 的和，以得到 \(x * h(n)\) 的表达式。这样可以为每个区间得到 \(x * h(n)\) 的表达式。
- 将各个区间的结果组合起来，以得到所有 \(n\) 的卷积结果 \(x * h(n)\)。
根据被卷积序列的形式，我们可以采用上述策略的多种变体。然而，在大多数情况下，绘制卷积运算中涉及的各序列的图像非常有帮助，因为这通常使答案的一般形式更易于直观理解。有时，从图像中得到的信息也可以更方便地以表格形式表示。因此，使用表格也很有帮助。下面，我们通过几个例子来说明卷积的计算方法。
例 9.1 计算 \(x * h\)，其中
\[
x(n)=2^{-|n|} \quad \text { 和 } \quad h(n)=u(n-2) .
\]
解答 根据卷积的定义，我们有
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(n-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} 2^{-|k|} u(n-k-2)
\end{aligned}
\]
由于 \(u(n-k-2)=0\) 当 \(k>n-2\)，我们可以写作
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=-\infty}^{n-2} 2^{-|k|} \\
& = \begin{cases}\sum_{k=-\infty}^{n-2} 2^{k} & n-2 \leq 0 \\ \sum_{k=-\infty}^{0} 2^{k}+\sum_{k=1}^{n-2} 2^{-k} & n-2>0\end{cases} \\
& = \begin{cases}\sum_{k=-\infty}^{n-2} 2^{k} & n \leq 2 \\ \sum_{k=-\infty}^{0} 2^{k}+\sum_{k=1}^{n-2} 2^{-k} & n>2\end{cases}
\end{aligned}
\]
通常，确定卷积计算中出现的各种情况可能有些棘手。在本例中，我们有两种情况：\(n \leq 2\) 和 \(n>2\)。这些情况的原因可以通过观察 \(x(k)\) 和 \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的图像更容易理解，如图 9.1 所示。现在，我们简化上式中出现的各求和式。我们有
\[
\begin{aligned}
\sum_{k=-\infty}^{n-2} 2^{k} & =\sum_{k=2-n}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+2-n}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{2-n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \\
& =\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2-n}}{1-\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2-n}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-n} \\
& =2^{n-1} \\
\sum_{k=-\infty}^{0} 2^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty} 2^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \\
& =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=(1)(2) \\
& =2, \quad \text { 并且 } \\
\sum_{k=1}^{n-2} 2^{-k} & =\sum_{k=0}^{n-3} 2^{-(k+1)}=\sum_{k=0}^{n-3}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \\
& =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-1}{\frac{1}{2}-1}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-1}{-\frac{1}{2}}\right) \\
& =1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} .
\end{aligned}
\]
将这些简化后的表达式代入之前的 \(x * h\) 公式，得到
\[
x * h(n)= \begin{cases}2^{n-1} & n \leq 2 \\ 3-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} & n>2\end{cases}
\]
例 9.2 计算 \(x * h\)，其中
\[
x(n)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(\frac{3}{4}\right)^{-n-4} & n \leq-5 \\[2mm]
1 & -4 \leq n \leq 4 \\[1mm]
\left(\frac{3}{4}\right)^{n-4} & n \geq 5
\end{array} \quad \text { 和 } \quad h(n)=u(n+2)-u(n-5)\right.
\]
图 9.1：例 9.1 的图像。分别绘制了 (a) \(x(k)\)，(b) \(h(k)\)，和 (c) \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的图像。
解答 为了帮助直观理解卷积计算中涉及的各种情况，我们在图 9.2 中绘制了 \(x(k)\)、\(h(k)\) 和 \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的图像。从这些图像可以推导出卷积计算中有五种情况：
- \(n \leq -7\)，来自 \(n+2 \leq -5\)；
- \(-6 \leq n \leq -1\)，来自 \(n-4 \leq -5\) 且 \(n+2 \geq -4\)；
- \(0 \leq n \leq 2\)，来自 \(n-4 \geq -4\) 且 \(n+2 \leq 4\)；
- \(3 \leq n \leq 8\)，来自 \(n-4 \leq 4\) 且 \(n+2 \geq 5\)；
- \(n \geq 9\)，来自 \(n-4 \geq 5\)。
我们依次考虑上述每种情况。
第一种情况：
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=n-4}^{n+2}\left(\frac{3}{4}\right)^{-k-4}(1)=\sum_{k=n-4}^{n+2}\left(\frac{3}{4}\right)^{-k-4} \\
& =\sum_{k=0}^{6}\left(\frac{3}{4}\right)^{-k-n}\sum_{k=0}^{6}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\left(\frac{4}{3}\right)^{k}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n} \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{7}-1}{\frac{4}{3}-1} \\
& =\frac{14197}{729}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}
\end{aligned}
\]
第二种情况：
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=n-4}^{-5}\left(\frac{3}{4}\right)^{-k-4}(1)+\sum_{k=-4}^{n+2}(1)(1) \\
& =\left[\sum_{k=n-4}^{-5}\left(\frac{4}{3}\right)^{k+4}\right]+n+7 \\
& =n+7+\sum_{k=0}^{-n-1}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\left(\frac{4}{3}\right)^{k}=n+7+\left(\frac{4}{3}\right)^{n} \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^{-n}-1}{\frac{4}{3}-1} \\
& =n+7+3\left[1-\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\right] \\
& =n-3\left(\frac{4}{3}\right)^{n}+10
\end{aligned}
\]
第三种情况：
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=n-4}^{n+2}(1)(1) = 7
\end{aligned}
\]
第四种情况：
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=n-4}^4(1)(1)+\sum_{k=5}^{n+2}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-4}(1)=8-n+\sum_{k=5}^{n+2}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-4} \\
& =8-n+\sum_{k=0}^{n-3}\left(\frac{3}{4}\right)^{k+5-4}=8-n+\sum_{k=0}^{n-3}\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^k=8-n+\frac{3}{4} \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2}-1}{\frac{3}{4}-1} \\
& =8-n-4\left(\frac{3}{4}\right)\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2}-1\right]=8-n-\left[3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2}-4\right]=12-n-3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-2} \\
& =12-\frac{16}{3}\left(\frac{3}{4}\right)^n-n .
\end{aligned}
\]
第五种情况：
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=n-4}^{n+2}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-4}(1)=\sum_{k=n-4}^{n+2}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-4} \\
& =\sum_{k=0}^6\left(\frac{3}{4}\right)^{k+n-4-4}=\sum_{k=0}^6\left(\frac{3}{4}\right)^{n-8}\left(\frac{3}{4}\right)^k=\left(\frac{3}{4}\right)^{n-8} \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^7-1}{\frac{3}{4}-1} \\
& =-4\left(\frac{3}{4}\right)^{n-8}\left[\left(\frac{3}{4}\right)^7-1\right]=\frac{14197}{4096}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-8} \\
& =\frac{227152}{6561}\left(\frac{3}{4}\right)^n .
\end{aligned}
\]
将上述结果结合，得到：
\[
x * h(n)= \begin{cases}\frac{14197}{729}\left(\frac{4}{3}\right)^{n} & n \leq -7 \\[1mm] n-3\left(\frac{4}{3}\right)^{n}+10 & -6 \leq n \leq -1 \\[1mm] 7 & 0 \leq n \leq 2 \\[1mm] 12-\frac{16}{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}-n & 3 \leq n \leq 8 \\[1mm] \frac{227152}{6561}\left(\frac{3}{4}\right)^{n} & n \geq 9 \end{cases}
\]
\(x * h\) 的图像如图 9.3 所示。
例 9.3 计算 \(x * h\)，其中
\[
x(n)=\delta(n)+2 \delta(n-1)+\delta(n-2) \quad \text { 和 } \quad h(n)=\frac{1}{2} \delta(n+1)+\frac{1}{2} \delta(n)
\]
解答 该卷积最容易通过图解法或表格法进行。下面我们选择表格法。通过构建一张显示 \(x\) 以及 \(h\) 的各种时间反转和移位版本的表格，可以轻松计算 \(x * h\) 的各元素。该过程结果见表 9.1。从表中可得：
\[
x * h(n)=\frac{1}{2} \delta(n+1)+\frac{3}{2} \delta(n)+\frac{3}{2} \delta(n-1)+\frac{1}{2} \delta(n-2) .
\]
例 9.4 计算 \(x * h\)，其中
\[
x(n)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u(n) \quad \text { 和 } \quad h(n)=u(n) .
\]
解答 根据卷积的定义，我们有
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(n-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} u(k) u(n-k)
\end{aligned}
\]
由于 \(u(k)=0\) 当 \(k<0\) 且 \(u(n-k)=0\) 当 \(k>n\)，因此可以写作
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & = \begin{cases}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} & n \geq 0 \\ 0 & \text { 否则 }\end{cases} \\
& =\left(\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\right) u(n)
\end{aligned}
\]
图 9.2：例 9.2 的图像。分别绘制了 (a) \(x(k)\)，(b) \(h(k)\)，和 (c) \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的图像。
图 9.3：例 9.2 的序列 \(x * h\)。
表 9.1：例 9.3 的卷积计算
通常，确定卷积计算中出现的各种情况可能有些棘手。在本例中，我们有两种情况：\(n \geq 0\) 和 \(n<0\)。这些情况的原因可以通过观察 \(x(k)\) 和 \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的图像更容易理解，如图 9.4 所示。利用等比数列求和公式，我们可以写作
\[
x * h(n)=\delta(n)+2 \delta(n-1)+6 \delta(n-2)-6 \delta(n-4)-2 \delta(n-5)-\delta(n-6) .
\]
进一步简化为
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\left[\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-1}{\frac{1}{2}-1}\right] u(n) \\
& =-2\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-1\right] u(n) \\
& =\left[2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right] u(n)
\end{aligned}
\]
例 9.5 计算 \(x * h\)，其中
\[
\begin{gathered}
x(n)=\delta(n)+3 \delta(n-1)+9 \delta(n-2)+9 \delta(n-3)+3 \delta(n-4)+\delta(n-5) ,\\
h(n)=\delta(n)-\delta(n-1)
\end{gathered}
\]
解答 该卷积最容易通过图解法或表格法进行。下面我们选择表格法。通过构建一张显示 \(x\) 以及 \(h\) 的各种时间反转和移位版本的表格，可以轻松计算 \(x * h\) 的各元素。该过程结果见表 9.2。从表中可得：
\[
x * h(n)=\delta(n)+2 \delta(n-1)+6 \delta(n-2)-6 \delta(n-4)-2 \delta(n-5)-\delta(n-6) .
\]
9.3 卷积的性质
由于卷积在研究线性时不变（LTI）系统中经常使用，因此了解其一些基本性质是非常重要的。下面，我们将考察其中的一些性质。
图 9.4：示例 9.4 的绘图。绘制了 (a) \(x(k)\), (b) \(h(k)\), 和 (c) \(h(n-k)\) 关于 \(k\) 的变化。
表 9.2：示例 9.5 的卷积计算
定理 9.1（卷积的交换律）。卷积是交换的。也就是说，对于任意两个序列 \(x\) 和 \(h\)，
\[
\begin{equation*}
x * h=h * x \tag{9.2}
\end{equation*}
\]
换句话说，卷积的结果不受操作数顺序的影响。
证明。下面给出上述交换律的证明。首先，展开 (9.2) 左边：
\[
x * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(n-k) .
\]
接下来，进行变量代换。令 \(v=n-k\)，则 \(k=n-v\)。使用此变量代换，可以将上式改写为：
\[
\begin{aligned}
x * h(n) & =\sum_{v=n+\infty}^{n-\infty} x(n-v) h(v) \\
& =\sum_{v=\infty}^{-\infty} x(n-v) h(v) \\
& =\sum_{v=-\infty}^{\infty} x(n-v) h(v) \\
& =\sum_{v=-\infty}^{\infty} h(v) x(n-v) \\
& =h * x(n)
\end{aligned}
\]
因此，我们证明了卷积是交换的。
定理 9.2（卷积的结合律）。卷积是结合的。也就是说，对于任意三个序列 \(x, h_{1}\) 和 \(h_{2}\)，
\[
\begin{equation*}
\left(x * h_{1}\right) * h_{2}=x *\left(h_{1} * h_{2}\right) . \tag{9.3}
\end{equation*}
\]
换句话说，多次卷积的最终结果不依赖于卷积操作的分组方式。
证明。首先，利用卷积定义展开 (9.3) 左边：
\[
\begin{aligned}
\left(\left[x * h_{1}\right] * h_{2}\right)(n) & =\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}\left[x * h_{1}(\ell)\right] h_{2}(n-\ell) \\
& =\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h_{1}(\ell-k)\right) h_{2}(n-\ell)
\end{aligned}
\]
现在，交换求和顺序得到：
\[
\left(\left[x * h_{1}\right] * h_{2}\right)(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} x(k) h_{1}(\ell-k) h_{2}(n-\ell) .
\]
将 \(x(k)\) 提到内层求和之外：
\[
\left(\left[x * h_{1}\right] * h_{2}\right)(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} h_{1}(\ell-k) h_{2}(n-\ell) .
\]
接下来，进行变量代换。令 \(\lambda=\ell-k\)，则 \(\ell=\lambda+k\)。使用此代换，得到：
\[
\begin{aligned}
\left(\left[x * h_{1}\right] * h_{2}\right)(n) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \sum_{\lambda=-\infty-k}^{\infty-k} h_{1}(\lambda) h_{2}(n-\lambda-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} h_{1}(\lambda) h_{2}(n-\lambda-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)\left(\sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} h_{1}(\lambda) h_{2}([n-k]-\lambda)\right) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)\left[h_{1} * h_{2}(n-k)\right] \\
& =\left(x *\left[h_{1} * h_{2}\right]\right)(n)
\end{aligned}
\]
因此，我们证明了卷积是结合的。
定理 9.3（卷积的分配律）。卷积是分配的。也就是说，对于任意三个序列 \(x, h_{1}\) 和 \(h_{2}\)，
\[
\begin{equation*}
x *\left(h_{1}+h_{2}\right)=x * h_{1}+x * h_{2} \tag{9.4}
\end{equation*}
\]
换句话说，卷积可以分配到加法上。
证明。此性质的证明相对简单。展开 (9.4) 左边：
\[
\begin{aligned}
\left(x *\left[h_{1}+h_{2}\right]\right)(n) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k)\left[h_{1}(n-k)+h_{2}(n-k)\right] \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h_{1}(n-k)+\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h_{2}(n-k) \\
& =x * h_{1}(n)+x * h_{2}(n)
\end{aligned}
\]
因此，我们已经证明卷积是分配的。
在一个集合上的运算中，了解该运算的单位元通常非常有用。考虑实数的加法和乘法运算。对于任意实数 \(a\)，有 \(a+0=a\)。由于将零加到 \(a\) 上不会改变结果（即结果仍为 \(a\)），我们称 0 为加法单位元。对于任意实数 \(a\)，有 \(1 \cdot a = a\)。由于将 \(a\) 乘以 1 不会改变结果（即结果仍为 \(a\)），我们称 1 为乘法单位元。可以想象，如果我们不知道 \(a+0=a\) 或 \(1 \cdot a=a\)，算术将会多么困难。因此，单位元显然具有根本性的重要性。
前面，我们引入了一种新的运算，称为卷积。因此，结合上述内容，自然会想知道是否存在卷积的单位元。事实上是存在的，如下面的定理所示。
定理 9.4（卷积单位元）。对于任意序列 \(x\)，有
\[
\begin{equation*}
x * \delta=x \tag{9.5}
\end{equation*}
\]
换句话说，\(\delta\) 是卷积的单位元（即，将任意序列 \(x\) 与 \(\delta\) 卷积，结果仍为 \(x\)）。
证明。假设我们有一个任意序列 \(x\)。根据卷积的定义，可以写作：
\[
x * \delta(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \delta(n-k)
\]
现在，我们进行变量代换。令 \(\lambda=-k\)，则 \(k=-\lambda\)。应用该变量代换，得到：
\[
\begin{align*}
x * \delta(n) & =\sum_{\lambda=-(-\infty)}^{-(\infty)} x(-\lambda) \delta(n+\lambda) \\
& =\sum_{\lambda=\infty}^{-\infty} x(-\lambda) \delta(n+\lambda) \\
& =\sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} x(-\lambda) \delta(\lambda+n) \tag{9.6}
\end{align*}
\]
根据 \(\delta\) 的等效性质，可以将上述方程改写为：
\[
\begin{aligned}
x * \delta(n) & =\sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} x(-[-n]) \delta(\lambda+n) \\
& =\sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} x(n) \delta(\lambda+n)
\end{aligned}
\]
将 \(x(n)\) 提出求和符号外，得到：
\[
x * \delta(n)=x(n) \sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} \delta(\lambda+n)
\]
由于 \(\sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} \delta(\lambda)=1\) 意味着 \(\sum_{\lambda=-\infty}^{\infty} \delta(\lambda+n)=1\)，因此有：
\[
x * \delta(n)=x(n)
\]
因此，\(\delta\) 是卷积的单位元（即 \(x * \delta=x\)）。
（或者，我们也可以直接对 (9.6) 应用筛选性质以得到所需结果。）
9.4 周期卷积
两个周期序列的卷积通常不容易明确定义。这促使我们为周期序列引入一种替代的卷积概念，称为周期卷积。\(N\)-周期序列 \(x\) 和 \(h\) 的周期卷积，记作 \(x \circledast h\)，定义为：
\[
x \circledast h(n)=\sum_{k=\langle N\rangle} x(k) h(n-k),
\]
其中 \(\sum_{k=\langle N\rangle}\) 表示在长度为 \(N\) 的区间上求和。等价地，周期卷积可以写作：
\[
x \circledast h(n)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) h(\bmod (n-k, N)),
\]
其中 \(\bmod (a, b)\) 表示 \(a\) 除以 \(b\) 后的余数。\(N\)-周期序列 \(x\) 和 \(h\) 的周期卷积与（线性）卷积的关系为：
\[
x \circledast h(n)=x_{0} * h(n) \quad \text { 其中 } \quad x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_{0}(n-N k)
\]
（即，\(x_{0}(n)\) 在 \(x\) 的一个周期内等于 \(x(n)\)，在其他地方为零）。
9.5 LTI 系统的表征与卷积
在术语上，系统 \(\mathcal{H}\) 的冲激响应 \(h\) 定义为
\[
h=\mathcal{H} \delta
\]
换句话说，系统的冲激响应是当系统的输入为 \(\delta\) 时产生的输出。事实证明，LTI 系统的输入、输出与冲激响应之间存在一种非常特殊的关系，如下定理所示。
定理 9.5（LTI 系统与卷积）。具有冲激响应 \(h\) 的 LTI 系统 \(\mathcal{H}\) 满足
\[
\mathcal{H} x=x * h
\]
换句话说，LTI 系统执行卷积运算。特别地，系统的输出由输入与冲激响应的卷积给出。
证明。首先，假设 \(\mathcal{H}\) 是 LTI 的（即 \(\mathcal{H}\) 既是线性的又是时间不变的）。利用 \(\delta\) 是卷积单位元的事实，有：
\[
\mathcal{H} x=\mathcal{H}\{x * \boldsymbol{\delta}\} .
\]
根据卷积定义，有：
\[
\mathcal{H} x=\mathcal{H}\left\{\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \boldsymbol{\delta}(\cdot-k)\right\} .
\]
由于 \(\mathcal{H}\) 是线性的，我们可以将求和和 \(x(k)\)（对 \(\mathcal{H}\) 的操作而言是常数）提出：
\[
\begin{equation*}
\mathcal{H} x=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \mathcal{H}\{\boldsymbol{\delta}(\cdot-k)\} . \tag{9.7}
\end{equation*}
\]
由于 \(\mathcal{H}\) 是时间不变的，可以交换 \(\mathcal{H}\) 与 \(\delta\) 的时间平移 \(k\) 的顺序，即：
\[
\mathcal{H}\{\boldsymbol{\delta}(\cdot-k)\}=h(\cdot-k) .
\]
因此，可以将 (9.7) 改写为：
\[
\begin{aligned}
\mathcal{H} x & =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(\cdot-k) \\
& =x * h .
\end{aligned}
\]
由此，我们证明了 \(\mathcal{H} x=x * h\)，其中 \(h=\mathcal{H} \delta\)。
根据上面的定理 9.5，LTI 系统的行为完全由其冲激响应决定。也就是说，如果已知系统的冲激响应，就可以确定系统对任意输入的响应。因此，冲激响应为 LTI 系统的研究提供了一个非常强大的工具。
示例 9.6。考虑一个 LTI 系统 \(\mathcal{H}\)，其冲激响应为
\[
\begin{equation*}
h(n)=u(n) . \tag{9.8}
\end{equation*}
\]
证明 \(\mathcal{H}\) 由下式表征：
\[
\begin{equation*}
\mathcal{H} x(n)=\sum_{k=-\infty}^{n} x(k) \tag{9.9}
\end{equation*}
\]
（即，\(\mathcal{H}\) 对应于理想累加器）。
解答。由于系统是 LTI 的，有：
\[
\mathcal{H} x(n)=x * h(n) .
\]
将 (9.8) 代入，并化简得到：
\[
\begin{aligned}
\mathcal{H} x(n) & =x * h(n) \\
& =x * u(n) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) u(n-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{n} x(k) u(n-k)+\sum_{k=n+1}^{\infty} x(k) u(n-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{n} x(k)
\end{aligned}
\]
因此，冲激响应为 (9.8) 的系统实际上就是由 (9.9) 给出的理想累加器。
示例 9.7。考虑一个 LTI 系统，输入为 \(x\)，输出为 \(y\)，冲激响应为 \(h\)，其中
\[
h(n)= \begin{cases}1 & 0 \leq n \leq 2 \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases}
\]
求并绘制系统对以下输入 \(x\) 的响应：
\[
x(n)= \begin{cases}n+1 & 0 \leq n \leq 3 \\ 7-n & 4 \leq n \leq 6 \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases}
\]
解答。由于系统是 LTI 的，有：
\[
y=x * h
\]
因此，在此例中，本质上要求我们计算 \(x * h\)。该卷积通常可通过图形法或表格法最容易完成。下面，我们选择使用表格法。通过构建显示 \(x\) 及 \(h\) 的各个时间翻转和平移版本的表格，可以轻松计算 \(x * h\) 的各个元素。该过程的结果如表 9.3 所示。从该表中，我们得到：
\[
x * h(n)= \begin{cases}1 & n=0 \\ 3 & n=1 \\ 6 & n=2 \\ 9 & n=3 \\ 10 & n=4 \\ 9 & n=5 \\ 6 & n=6 \\ 3 & n=7 \\ 1 & n=8 \\ 0 & \text { 其他情况 }\end{cases}
\]
表 9.3：示例 9.7 的卷积计算
9.6 LTI 系统的单位阶跃响应
系统 \(\mathcal{H}\) 的阶跃响应 \(s\) 定义为：
\[
s=\mathcal{H} u
\]
（即，系统的阶跃响应是其在单位阶跃序列输入下产生的输出）。对于 LTI 系统，阶跃响应与冲激响应关系密切，如下定理所示。
定理 9.6。LTI 系统的阶跃响应 \(s\) 与冲激响应 \(h\) 的关系为：
\[
h(n)=s(n)-s(n-1) \quad \text { 且 } \quad s(n)=\sum_{k=-\infty}^{n} h(k) .
\]
也就是说，冲激响应 \(h\) 是阶跃响应 \(s\) 的一阶差分。
证明。利用 \(s=u * h\)，我们可以写作：
\[
\begin{aligned}
s(n) & =u * h(n) \\
& =h * u(n) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) u(n-k) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{n} h(k) .
\end{aligned}
\]
图 9.5：离散时间 LTI 系统的方框图表示，输入为 \(x\)，输出为 \(y\)，冲激响应为 \(h\)。
因此，\(s\) 可以通过累加 \(h\) 得到。对 \(s\) 取一阶差分，我们得到：
\[
\begin{aligned}
s(n)-s(n-1) & =\sum_{k=-\infty}^{n} h(k)-\sum_{k=-\infty}^{n-1} h(k) \\
& =h(n)+\sum_{k=-\infty}^{n-1} h(k)-\sum_{k=-\infty}^{n-1} h(k) \\
& =h(n)
\end{aligned}
\]
因此，\(h\) 是 \(s\) 的一阶差分。
阶跃响应在实际中常常具有重要意义，因为它可用于确定 LTI 系统的冲激响应。特别地，冲激响应可以通过对阶跃响应进行差分来得到。
9.7 离散时间 LTI 系统的方框图表示
在很多情况下，用方框图表示离散时间 LTI 系统是非常方便的。由于 LTI 系统完全由其冲激响应决定，因此在方框图中通常用冲激响应来标注系统。也就是说，我们将输入为 \(x\)、输出为 \(y\)、冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统表示为图 9.5 所示。
9.8 离散时间 LTI 系统的互连
假设我们有一个 LTI 系统，其输入为 \(x\)，输出为 \(y\)，冲激响应为 \(h\)。我们知道 \(x\) 和 \(y\) 的关系为 \(y=x * h\)。换句话说，该系统可以看作是执行卷积运算。根据前面介绍的卷积性质，我们可以推导出若干关于串联和并联互连系统冲激响应的等价关系。
考虑两个 LTI 系统，其冲激响应分别为 \(h_{1}\) 和 \(h_{2}\)，并以串联方式连接，如图 9.6(a) 左侧所示。从图 9.6(a) 左侧的方框图中，我们有：
\[
y=\left(x * h_{1}\right) * h_{2} .
\]
由于卷积的结合律，这等价于：
\[
y=x *\left(h_{1} * h_{2}\right) .
\]
因此，两个 LTI 系统的串联互连表现为一个冲激响应为 \(h_{1} * h_{2}\) 的单一 LTI 系统。换句话说，我们得到了图 9.6(a) 所示的等价关系。
考虑两个 LTI 系统，其冲激响应分别为 \(h_{1}\) 和 \(h_{2}\)，并以串联方式连接，如图 9.6(b) 左侧所示。从图 9.6(b) 左侧的方框图中，我们有：
\[
y=\left(x * h_{1}\right) * h_{2} .
\]
由于卷积的结合律和交换律，这等价于：
\[
\begin{aligned}
y & =x *\left(h_{1} * h_{2}\right) \\
& =x *\left(h_{2} * h_{1}\right) \\
& =\left(x * h_{2}\right) * h_{1} .
\end{aligned}
\]
图 9.6：离散时间 LTI 系统串联互连的等价关系。(a) 第一种等价，(b) 第二种等价。
图 9.7：离散时间 LTI 系统并联互连的等价关系。
因此，交换两个 LTI 系统的位置不会改变输入 \(x\) 与输出 \(y\) 的整体系统行为。换句话说，我们得到了图 9.6(b) 所示的等价关系。
考虑两个 LTI 系统，其冲激响应分别为 \(h_{1}\) 和 \(h_{2}\)，并以并联方式连接，如图 9.7 左侧所示。从图 9.7 左侧的方框图中，我们有：
\[
y=x * h_{1}+x * h_{2} .
\]
由于卷积具有分配性，该方程可以改写为：
\[
y=x *\left(h_{1}+h_{2}\right) .
\]
因此，两个 LTI 系统的并联互连表现为一个冲激响应为 \(h_{1}+h_{2}\) 的单一 LTI 系统。换句话说，我们得到了图 9.7 所示的等价关系。
示例 9.8。考虑如图 9.8 所示的系统，输入为 \(x\)，输出为 \(y\)，冲激响应为 \(h\)。方框图中的每个子系统都是 LTI 的，并标注其冲激响应。求系统的冲激响应 \(h\)。
解答。从方框图的左半部分，我们可以写作：
\[
\begin{aligned}
v & =x+x * h_{1}+x * h_{2} \\
& =x * \delta+x * h_{1}+x * h_{2} \\
& =x *\left(\delta+h_{1}+h_{2}\right)
\end{aligned}
\]
类似地，从方框图的右半部分，我们可以写作：
\[
y=v * h_{3} .
\]
将 \(v\) 的表达式代入上式，得到：
\[
\begin{aligned}
y & =v * h_{3} \\
& =\left(x *\left[\delta+h_{1}+h_{2}\right]\right) * h_{3} \\
& =x *\left(\left[\delta+h_{1}+h_{2}\right] * h_{3}\right) \\
& =x *\left(h_{3}+h_{1} * h_{3}+h_{2} * h_{3}\right) .
\end{aligned}
\]
图 9.8：系统互连示例。
因此，整体系统的冲激响应 \(h\) 为：
\[
h=h_{3}+h_{1} * h_{3}+h_{2} * h_{3} .
\]
9.9 离散时间 LTI 系统的性质
在前一章中，我们介绍了系统可能具备的一些性质（例如，存储性、因果性、BIBO 稳定性以及可逆性）。由于 LTI 系统完全由其冲激响应决定，因此有人可能会想，先前介绍的一些性质是否与冲激响应存在联系。下面，我们将探讨这些关系。
9.9.1 存储性（Memory）
首先考虑的系统性质是存储性。
定理 9.7（LTI 系统的无存储性）。具有冲激响应 \(h\) 的 LTI 系统在且仅在
\[
h(n)=0 \text { 对所有 } n \neq 0
\]
时是无存储的。
证明。回忆一下，如果系统在任意时间的输出 \(y\) 仅依赖于该时间的输入 \(x\)，则系统是无存储的。假设我们现在有一个 LTI 系统，其输入为 \(x\)，输出为 \(y\)，冲激响应为 \(h\)。在某个任意时间 \(n_{0}\) 的输出为：
\[
\begin{aligned}
y\left(n_{0}\right) & =x * h\left(n_{0}\right) \\
& =h * x\left(n_{0}\right) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) x\left(n_{0}-k\right) .
\end{aligned}
\]
考虑上式中的求和。为了使系统无存储，求和结果必须只依赖于 \(x(n)\) 在 \(n=n_{0}\) 的值。这只有在
\[
h(n)=0 \quad \text { 对所有 } n \neq 0
\]
时才可能成立。
由上述定理可知，无存储的 LTI 系统的冲激响应 \(h\) 必须为：
\[
\begin{equation*}
h=K \delta \tag{9.10}
\end{equation*}
\]
其中 \(K\) 是一个复常数。因此，所有无存储 LTI 系统的输入输出关系必须为：
\[
\begin{aligned}
y & =x *(K \delta) \\
& =K(x * \delta) \\
& =K x .
\end{aligned}
\]
换句话说，无存储的 LTI 系统必须是理想放大器（即仅执行幅度缩放的系统）。
示例 9.9。考虑冲激响应为
\[
h(n)=e^{-a n} u(n)
\]
的 LTI 系统，其中 \(a\) 为实常数。判断该系统是否具有存储性。
解答。该系统具有存储性，因为 \(h(n) \neq 0\) 对某些 \(n \neq 0\) 成立（例如，\(h(1)=e^{-a} \neq 0\)）。
示例 9.10。考虑冲激响应为
\[
h(n)=\delta(n)
\]
的 LTI 系统。判断该系统是否具有存储性。
解答。显然，\(h\) 仅在原点非零。这直接由单位冲激序列 \(\delta\) 的定义可知。因此，该系统是无存储的（即不具有存储性）。
9.9.2 因果性（Causality）
下一个要考虑的系统性质是因果性。
定理 9.8（LTI 系统的因果性）。具有冲激响应 \(h\) 的 LTI 系统在且仅在
\[
h(n)=0 \text { 对所有 } n<0
\]
时是因果的（即 \(h\) 是因果的）。
证明。回忆一下，如果系统在任意时间 \(n_{0}\) 的输出 \(y\) 不依赖于其输入 \(x\) 在 \(n_{0}\) 之后的值，则系统是因果的。假设我们有一个 LTI 系统，其输入为 \(x\)，输出为 \(y\)，冲激响应为 \(h\)。在 \(n_{0}\) 时刻的输出为：
\[
\begin{align*}
y\left(n_{0}\right) & =x * h\left(n_{0}\right) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h\left(n_{0}-k\right) \\
& =\sum_{k=-\infty}^{n_{0}} x(k) h\left(n_{0}-k\right)+\sum_{k=n_{0}+1}^{\infty} x(k) h\left(n_{0}-k\right) . \tag{9.11}
\end{align*}
\]
为了使 \(y\left(n_{0}\right)\) 不依赖于 \(n>n_{0}\) 的 \(x(n)\)，必须满足：
\[
\begin{equation*}
h(n)=0 \quad \text { 对 } n<0 \tag{9.12}
\end{equation*}
\]
（即 \(h\) 是因果的）。此时，(9.11) 可简化为：
\[
y\left(n_{0}\right)=\sum_{k=-\infty}^{n_{0}} x(k) h\left(n_{0}-k\right) .
\]
显然，该求和结果不依赖于 \(n>n_{0}\) 的 \(x(n)\)（因为 \(k\) 从 \(-\infty\) 到 \(n_{0}\) 变化）。因此，如果冲激响应 \(h\) 满足 (9.12)，则 LTI 系统是因果的。
示例 9.11。考虑冲激响应为
\[
h(n)=e^{-a n} u(n)
\]
的 LTI 系统，其中 \(a\) 为实常数。判断该系统是否因果。
解答。显然，对于 \(n<0\)，\(h(n)=0\)（由于 \(h(n)\) 中的 \(u(n)\) 因子）。因此，该系统是因果的。
示例 9.12。考虑冲激响应为
\[
h(n)=\delta\left(n+n_{0}\right)
\]
的 LTI 系统，其中 \(n_{0}\) 为严格正数。判断该系统是否因果。
解答。根据 \(\delta\) 的定义，可以容易地推导出 \(h(n)\) 除 \(n=-n_{0}\) 外均为零。由于 \(-n_{0}<0\)，该系统不是因果的。
9.9.3 可逆性
下一个需要考虑的系统性质是可逆性。
定理 9.9（LTI 系统的逆）。设 \(\mathcal{H}\) 是一个冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统。如果 \(\mathcal{H}\) 的逆 \(\mathcal{H}^{-1}\) 存在，则 \(\mathcal{H}^{-1}\) 也是 LTI 系统，并且其冲激响应 \(h_{\mathrm{inv}}\) 满足
\[
h * h_{\mathrm{inv}}=\delta .
\]
证明。首先，我们需要证明 LTI 系统的逆（如果存在）也必须是 LTI 系统。然而，这部分证明留给读者作为练习题 9.9。（解决此问题的一般方法是：1）证明线性系统的逆（如果存在）是线性的；2）证明时不变系统的逆（如果存在）是时不变的。）我们假设这部分证明已经完成，并继续进行。
现在假设逆系统 \(\mathfrak{H}^{-1}\) 存在。我们有
\[
\mathcal{H} x = x * h \quad \text{且} \quad \mathcal{H}^{-1} x = x * h_{\mathrm{inv}} .
\]
根据逆系统的定义，对于每一个序列 \(x\)，都有
\[
\mathcal{H}^{-1} \mathcal{H} x = x .
\]
展开上述方程的左边，我们得到
\[
\begin{align*}
& \mathcal{H}^{-1}[x * h] = x \\
\Leftrightarrow \quad & x * h * h_{\mathrm{inv}} = x . \tag{9.13}
\end{align*}
\]
图 9.9：系统与其逆系统的串联系统。
这一关系在图 9.9 中以示意图的形式表示。由于单位冲激序列是卷积的单位元，我们可以等价地将 (9.13) 重写为
\[
x * h * h_{\mathrm{inv}} = x * \delta .
\]
然而，该方程必须对任意 \(x\) 成立。因此，通过比较该方程的左右两边，我们可以得到结论
\[
\begin{equation*}
h * h_{\mathrm{inv}} = \delta . \tag{9.14}
\end{equation*}
\]
因此，如果 \(\mathcal{H}^{-1}\) 存在，它必然具有满足 (9.14) 的冲激响应 \(h_{\text{inv}}\)。证毕。
根据前述定理，我们得到以下结论：
定理 9.10（LTI 系统的可逆性）。一个冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统 \(\mathcal{H}\) 当且仅当存在一个序列 \(h_{\mathrm{inv}}\) 满足
\[
h * h_{\mathrm{inv}} = \delta
\]
时，可逆。
证明。由定理 9.9 的结果可以直接得到该结论，只需注意 \(\mathfrak{H}\) 可逆等价于 \(\mathcal{H}^{-1}\) 存在即可。
例 9.13. 考虑一个冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统 \(\mathcal{H}\)，其冲激响应为
\[
h(n) = A \delta\left(n-n_{0}\right),
\]
其中 \(A\) 是非零实常数，\(n_{0}\) 是整数常数。判断 \(\mathcal{H}\) 是否可逆，如果可逆，求系统 \(\mathfrak{H}^{-1}\) 的冲激响应 \(h_{\text{inv}}\)。
解。若系统 \(\mathcal{H}^{-1}\) 存在，其冲激响应 \(h_{\mathrm{inv}}\) 是下列方程的解：
\[
\begin{equation*}
h * h_{\mathrm{inv}} = \delta . \tag{9.15}
\end{equation*}
\]
现在尝试求解 \(h_{\text{inv}}\)。将给定序列 \(h\) 代入 (9.15) 并通过直接的代数运算，我们得到
\[
\begin{aligned}
& h * h_{\mathrm{inv}}(n) = \delta(n) \\
\Rightarrow & \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) h_{\mathrm{inv}}(n-k) = \delta(n) \\
\Rightarrow & \sum_{k=-\infty}^{\infty} A \delta\left(k-n_{0}\right) h_{\mathrm{inv}}(n-k) = \delta(n) \\
\Rightarrow & \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(k-n_{0}\right) h_{\mathrm{inv}}(n-k) = \frac{1}{A} \delta(n) .
\end{aligned}
\]
利用单位冲激序列的筛选性质，可将上述方程左边的求和简化为
\[
\begin{equation*}
h_{\mathrm{inv}}\left(n-n_{0}\right) = \frac{1}{A} \delta(n) . \tag{9.16}
\end{equation*}
\]
将 \(n+n_{0}\) 代入上式中的 \(n\)，得到
\[
\begin{aligned}
& h_{\mathrm{inv}}\left(\left[n+n_{0}\right]-n_{0}\right) = \frac{1}{A} \delta\left(n+n_{0}\right) \\
\Rightarrow \quad & h_{\mathrm{inv}}(n) = \frac{1}{A} \delta\left(n+n_{0}\right) .
\end{aligned}
\]
由于 \(A \neq 0\)，序列 \(h_{\text{inv}}\) 总是良好定义的。因此，\(\mathcal{H}^{-1}\) 存在，从而 \(\mathcal{H}\) 是可逆的。
图 9.10：输入为 \(x\)，输出为 \(y\) 的反馈系统。
例 9.14. 考虑图 9.10 所示的系统，其输入为 \(x\)，输出为 \(y\)。方框图中的每个子系统都是 LTI 系统，并标注了其冲激响应。利用逆系统的概念，将 \(y\) 用 \(x\) 表示出来。
解。从图 9.10 可以写出：
\[
\begin{gather*}
v = x - y * h_{2} \quad \text{且} \tag{9.17} \\
y = v * h_{1} . \tag{9.18}
\end{gather*}
\]
将 (9.17) 代入 (9.18) 并简化，得到
\[
\begin{array}{ll}
& y = \left[x - y * h_{2}\right] * h_{1} \\
\Rightarrow & y = x * h_{1} - y * h_{2} * h_{1} \\
\Rightarrow & y + y * h_{2} * h_{1} = x * h_{1} \\
\Rightarrow & y * \delta + y * h_{2} * h_{1} = x * h_{1} \\
\Rightarrow & y * \left[\delta + h_{2} * h_{1}\right] = x * h_{1} . \tag{9.19}
\end{array}
\]
为了方便，我们现在定义序列 \(g\) 为
\[
\begin{equation*}
g = \delta + h_{2} * h_{1} . \tag{9.20}
\end{equation*}
\]
于是，我们可以将 (9.19) 重写为
\[
\begin{equation*}
y * g = x * h_{1} . \tag{9.21}
\end{equation*}
\]
这样，我们几乎就得到了 \(y\) 关于 \(x\) 的表达式。为了完成求解，需要将方程左侧的 \(g\) 消去。为此，我们使用逆系统的概念。考虑冲激响应为 \(g\) 的系统的逆系统。该逆系统的冲激响应 \(g_{\text{inv}}\) 满足
\[
\begin{equation*}
g * g_{\mathrm{inv}} = \delta . \tag{9.22}
\end{equation*}
\]
该关系来自逆系统的定义。现在，我们使用 \(g_{\text{inv}}\) 来简化 (9.21)：
\[
\begin{aligned}
& y * g = x * h_{1} \\
\Rightarrow & y * g * g_{\mathrm{inv}} = x * h_{1} * g_{\mathrm{inv}} \\
\Rightarrow & y * \delta = x * h_{1} * g_{\mathrm{inv}} \\
\Rightarrow & y = x * h_{1} * g_{\mathrm{inv}} .
\end{aligned}
\]
因此，我们可以将输出 \(y\) 用输入 \(x\) 表示为
\[
y = x * h_{1} * g_{\mathrm{inv}},
\]
其中 \(g_{\text{inv}}\) 由 (9.22) 给出，\(g\) 由 (9.20) 给出。
9.9.4 BIBO 稳定性
最后需要考虑的系统性质是 BIBO 稳定性。
定理 9.11（LTI 系统的 BIBO 稳定性）。一个冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统当且仅当
\[
\begin{equation*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty \tag{9.23}
\end{equation*}
\]
（即 \(h\) 绝对可和）时，才是 BIBO 稳定的。
证明。回顾一下，当系统对每个有界输入产生有界输出时，该系统被称为 BIBO 稳定。假设我们有一个输入为 \(x\)、输出为 \(y\)、冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统。
首先，考虑 (9.23) 对 BIBO 稳定性的充分性。假设对所有 \(n\)，\(|x(n)| \leq A < \infty\)（即 \(x\) 是有界的）。我们可以写出
\[
\begin{aligned}
y(n) & = x * h(n) \\
& = h * x(n) \\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) x(n-k) .
\end{aligned}
\]
取上述方程两边的绝对值，得到
\[
\begin{equation*}
|y(n)| = \left| \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) x(n-k) \right| \tag{9.24}
\end{equation*}
\]
可以证明，对于任意两个序列 \(f_{1}\) 和 \(f_{2}\)，有
\[
\left| \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{1}(n) f_{2}(n) \right| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} |f_{1}(n) f_{2}(n)|
\]
利用该不等式，我们可以将 (9.24) 重写为
\[
|y(n)| \leq \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k) x(n-k)| = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| |x(n-k)|
\]
根据假设，\(|x(n)| \leq A\) 对所有 \(n\) 成立，因此可以将上式中的 \(|x(n-k)|\) 用其上界 \(A\) 替代，得到
\[
\begin{equation*}
|y(n)| \leq \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| |x(n-k)| \leq \sum_{k=-\infty}^{\infty} A |h(k)| = A \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| \tag{9.25}
\end{equation*}
\]
因此，我们有
\[
\begin{equation*}
|y(n)| \leq A \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| \tag{9.26}
\end{equation*}
\]
由于 \(A\) 是有限的，由 (9.26) 可得，如果
\[
\begin{equation*}
\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| < \infty \tag{9.27}
\end{equation*}
\]
（即 \(h\) 绝对可和），则 \(y\) 是有界的。因此，冲激响应 \(h\) 的绝对可和性是 BIBO 稳定性的充分条件。
现在，我们考虑 (9.23) 对 BIBO 稳定性的必要性。假设 \(h\) 不是绝对可和的。也就是说，假设
\[
\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| = \infty
\]
在这种情况下，我们可以证明该系统不是 BIBO 稳定的。首先，考虑特定输入 \(x\)，其定义为
\[
x(n) = e^{-j \arg [h(-n)]}
\]
由于对所有实数 \(\theta\)，\(\left| e^{j \theta} \right| = 1\)，因此 \(x\) 是有界的（即对所有 \(n\)，\(|x(n)| \leq 1\)）。输出 \(y\) 给出为
\[
\begin{align*}
y(n) & = x * h(n) \\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) h(n-k) \\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[e^{-j \arg [h(-k)]}\right] h(n-k) . \tag{9.28}
\end{align*}
\]
现在，考虑输出在 \(n=0\) 时的取值。由 (9.28) 可得
\[
\begin{equation*}
y(0) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[e^{-j \arg [h(-k)]}\right] h(-k) \tag{9.29}
\end{equation*}
\]
由于对所有复数 \(z\)，\(e^{-j \arg z} z = |z|\)，因此 \(\left[e^{-j \arg [h(-k)]}\right] h(-k) = |h(-k)|\)，于是 (9.29) 可简化为
\[
\begin{aligned}
y(0) & = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(-k)| \\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| \\
& = \infty
\end{aligned}
\]
因此，我们已经证明，有界输入 \(x\) 将导致输出 \(y\) 发散（在 \(n=0\) 时，\(y(n)\) 发散）。因此，\(h\) 的绝对可和性对于 BIBO 稳定性也是必要的。证毕。
例 9.15. 考虑冲激响应为
\[
h(n) = e^{a n} u(n)
\]
的 LTI 系统，其中 \(a\) 是实常数。判断系统在何种 \(a\) 值下是 BIBO 稳定的。
解。我们需要确定冲激响应 \(h\) 在何种 \(a\) 值下是绝对可和的。假设 \(a \neq 0\)，则有
\[
\begin{aligned}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| e^{a n} u(n) \right| \\
& = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{a n} u(n) \\
& = \sum_{n=-\infty}^{-1} 0 + \sum_{n=0}^{\infty} e^{a n} \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} e^{a n} \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} \left(e^{a}\right)^{n}
\end{aligned}
\]
右侧是一个无穷等比数列。当且仅当
\[
e^{a} < 1
\]
时，该数列收敛。对两边取对数，得到
\[
a < \log 1 = 0 .
\]
因此，当 \(a < 0\) 时，\(h\) 是绝对可和的；当 \(a \geq 0\) 时，\(h\) 发散。因此，系统当且仅当 \(a < 0\) 时是 BIBO 稳定的。
例 9.16（理想累加器）。考虑输入为 \(x\)、输出为 \(y\) 的 LTI 系统，定义为
\[
y(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} x(k)
\]
判断该系统是否 BIBO 稳定。
解。首先，求该系统的冲激响应 \(h\)。我们有
\[
\begin{aligned}
h(n) & = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta(k) \\
& = \begin{cases}1 & n \geq 0 \\ 0 & n < 0 \end{cases} \\
& = u(n)
\end{aligned}
\]
利用此冲激响应 \(h\)，检查其是否绝对可和：
\[
\begin{aligned}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |u(n)| \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} 1 \\
& = \infty
\end{aligned}
\]
因此，\(h\) 不是绝对可和的，系统不是 BIBO 稳定的。
9.10 离散时间 LTI 系统的特征序列
在第 8.7.7 节中，我们已经介绍了系统特征序列的概念。鉴于特征序列能够简化与系统相关的数学运算，自然而然地会想知道 LTI 系统可能有哪些特征序列。在这方面，下面的定理具有启发性。
定理 9.12（LTI 系统的特征序列）。对于任意 LTI 系统 \(\mathcal{H}\)，其冲激响应为 \(h\)，以及形式为 \(x(n) = z^{n}\) 的序列，其中 \(z\) 是任意复常数（即 \(x\) 是任意复指数序列），有如下结论：
\[
\begin{equation*}
\mathcal{H} x(n) = H(z) z^{n}, \tag{9.30a}
\end{equation*}
\]
其中
\[
\begin{equation*}
H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) z^{-n} \tag{9.30b}
\end{equation*}
\]
也就是说，\(x\) 是系统 \(\mathcal{H}\) 的特征序列，其对应的特征值为 \(H(z)\)。注意，(9.30a) 仅对 \(H(z)\) 收敛的 \(z\) 值成立（即 \(z\) 位于 \(H\) 的收敛域内）。
证明。首先，我们观察到系统 \(\mathcal{H}\) 为 LTI 系统当且仅当它计算卷积（即对于某个 \(h\)，\(\mathcal{H} x = x * h\)）。于是有
\[
\begin{aligned}
\mathcal{H} x(n) & = x * h(n) \\
& = h * x(n) \\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) x(n-k) \\
& = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) z^{n-k} \\
& = z^{n} \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) z^{-k} \\
& = z^{n} H(z)
\end{aligned}
\]
术语说明：在上述定理（即定理 9.12）中出现的函数 \(H\) 称为系统 \(\mathcal{H}\) 的系统函数（或传递函数）。系统函数完全描述了 LTI 系统的行为。因此，在处理 LTI 系统时，系统函数通常非常有用。事实上，(9.30b) 中出现的求和形式具有重要意义，它定义了所谓的 \(z\) 变换。我们将在第 12 章中对 \(z\) 变换进行深入研究。
注意，LTI 系统的特征序列不一定只有复指数序列。例如，例 8.38 中的系统是 LTI 系统，其每个序列都是其特征序列。此外，一个系统如果每个复指数序列都是其特征序列，也不一定是 LTI 系统。这可以通过下面的例子（以及练习 9.17）轻松说明。
例 9.17. 设 \(S\) 表示所有复指数序列的集合（即 \(S\) 是所有形式为 \(x(n) = b a^{n}\) 的序列 \(x\) 的集合，其中 \(a, b \in \mathbb{C}\)）。考虑系统 \(\mathcal{H}\)，定义为
\[
\mathcal{H} x =
\begin{cases}
x & x \in S \\
1 & \text{其他情况}
\end{cases}
\]
对于任意序列 \(x \in S\)，有 \(\mathcal{H} x = x\)，这意味着 \(x\) 是 \(\mathcal{H}\) 的特征序列，对应特征值为 1。因此，每个复指数序列都是 \(\mathcal{H}\) 的特征序列。
现在，我们证明 \(\mathcal{H}\) 不是线性的。以下令 \(a\) 为任意复常数。考虑序列 \(x(n) = n\)，显然 \(x \notin S\)。由于 \(x \notin S\)，我们有 \(\mathcal{H} x = 1\)，因此
\[
a \mathcal{H} x = a .
\]
接着，考虑序列 \(a x(n) = a n\)。由于 \(a x \notin S\)，我们有
\[
\mathcal{H}(a x) = 1 .
\]
由以上方程可知，\(\mathcal{H}(a x) = a \mathcal{H} x\) 仅在 \(a = 1\) 时成立。因此，\(\mathcal{H}\) 不是齐次的，从而也不是线性的。所以，\(\mathcal{H}\) 是一个例子，它的每个复指数序列都是特征序列，但系统本身不是 LTI。
现在，我们考虑特征序列的一个应用。由于卷积在计算上往往比较繁琐，我们可以利用特征序列，在某些情况下避免直接处理卷积。
假设我们有一个输入为 \(x\)、输出为 \(y\)、冲激响应为 \(h\) 的 LTI 系统。假设现在我们可以将任意输入 \(x\) 表示为复指数的线性组合：
\[
x(n) = \sum_{k} a_{k} z_{k}^{n}
\]
根据 LTI 系统的特征序列性质，对于输入 \(a_{k} z_{k}^{n}\) 的响应为 \(a_{k} H(z_{k}) z_{k}^{n}\)。利用这一性质以及叠加性，可以写出
\[
\begin{aligned}
y(n) & = \mathcal{H} x(n) \\
& = \mathcal{H} \left\{ \sum_{k} a_{k} z_{k}^{n} \right\} (n) \\
& = \sum_{k} a_{k} \mathcal{H} \left\{ z_{k}^{n} \right\} (n) \\
& = \sum_{k} a_{k} H(z_{k}) z_{k}^{n} .
\end{aligned}
\]
因此，如果 LTI 系统的输入可以表示为复指数的线性组合，则输出也可以表示为相同复指数的线性组合。
例 9.18. 考虑冲激响应为
\[
\begin{equation*}
h(n) = \delta(n-1) \tag{9.31}
\end{equation*}
\]
的 LTI 系统 \(\mathcal{H}\)。
(a) 求系统函数 \(H\)。
(b) 利用系统函数 \(H\)，求系统 \(\mathcal{H}\) 对输入
\[
x(n) = e^{n} \cos(\pi n)
\]
的响应 \(y\)。
解。(a) 将 (9.31) 代入 (9.30b)，得到
\[
\begin{aligned}
H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) z^{-n} \\
& = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(n-1) z^{-n} \\
& = z^{-1}
\end{aligned}
\]
(b) 首先，将 \(x\) 重写为
\[
\begin{aligned}
x(n) & = e^{n} \left[ \frac{1}{2} \left( e^{j \pi n} + e^{-j \pi n} \right) \right] \\
& = \frac{1}{2} (e^{1+j\pi})^{n} + \frac{1}{2} (e^{1-j\pi})^{n}
\end{aligned}
\]
因此，输入 \(x\) 可表示为
\[
x(n) = \sum_{k=0}^{1} a_{k} z_{k}^{n}
\]
其中
\[
a_{0} = a_{1} = \frac{1}{2}, \quad z_{0} = e^{1+j\pi}, \quad z_{1} = e^{1-j\pi}.
\]
在 (a) 部分，我们已求得系统函数 \(H(z) = z^{-1}\)。因此，利用系统函数可计算输出：
\[
\begin{aligned}
y(n) & = \sum_{k} a_{k} H(z_{k}) z_{k}^{n} \\
& = a_{0} H(z_{0}) z_{0}^{n} + a_{1} H(z_{1}) z_{1}^{n} \\
& = \frac{1}{2} H(e^{1+j\pi}) e^{(1+j\pi)n} + \frac{1}{2} H(e^{1-j\pi}) e^{(1-j\pi)n} \\
& = \frac{1}{2} e^{-(1+j\pi)} e^{(1+j\pi)n} + \frac{1}{2} e^{-(1-j\pi)} e^{(1-j\pi)n} \\
& = \frac{1}{2} e^{n-1} e^{j \pi (n-1)} + \frac{1}{2} e^{n-1} e^{-j \pi (n-1)} \\
& = e^{n-1} \left[ \frac{1}{2} \left( e^{j \pi (n-1)} + e^{-j \pi (n-1)} \right) \right] \\
& = e^{n-1} \cos[\pi (n-1)]
\end{aligned}
\]
可以看出，输出 \(y\) 只是输入 \(x\) 的时间延迟 1。这并非巧合，因为具有系统函数 \(H(z) = z^{-1}\) 的 LTI 系统正是理想单位延迟系统（即执行时间延迟 1 的系统）。
9.11 练习
9.11.1 无答案练习
9.1 计算下列每对序列 \(x\) 与 \(h\) 的卷积 \(x * h\)。
(a) \(x(n) = n [u(n+2) - u(n-5)]\) 且 \(h(n) = u(n)\)；
(b) \(x(n) = 2^{n} u(-n)\) 且 \(h(n) = u(n)\)；
(c)
\[
x(n) =
\begin{cases}
n & 0 \le n \le 3 \\
6-n & 4 \le n \le 6 \\
0 & \text{其他情况}
\end{cases},
\quad h(n) = u(n) - u(n-6)；
\]
(d) \(x(n) = u(n)\) 且 \(h(n) = u(n-3)\)。
9.2 对下列图中给出的每对序列 \(x\) 和 \(h\)，计算 \(x * h\)。
(a)
(b)
9.3 证明对于任意序列 \(x\)，有 \(x * v(n) = x(n - n_0)\)，其中 \(v(n) = \delta(n - n_0)\)，\(n_0\) 为任意整数常数。
9.4 设 \(x, y, h, v\) 为序列，满足 \(y = x * h\)，且
\[
v(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(-k-b) h(k + a n),
\]
其中 \(a\) 与 \(b\) 为整数常数。将 \(v\) 用 \(y\) 表示出来。
9.5 考虑卷积 \(y = x * h\)。假设卷积 \(y\) 存在，证明下列命题成立：
(a) 若 \(x\) 是周期序列，则 \(y\) 也是周期序列。
(b) 若 \(x\) 为偶序列且 \(h\) 为奇序列，则 \(y\) 为奇序列。
9.6 设 \(\mathcal{D} x(n) = x(n) - x(n-1)\)（即 \(\mathcal{D}\) 为一阶差分算子）。根据卷积定义，证明若 \(y = x * h\)，则 \(\mathcal{D} y = x * \mathcal{D} h\)。
9.7 设序列 \(x\) 与 \(h\) 满足
\[
\begin{gathered}
x(n) = 0 \quad \text{当 } n < A_1 \text{ 或 } n > A_2, \\
h(n) = 0 \quad \text{当 } n < B_1 \text{ 或 } n > B_2,
\end{gathered}
\]
即 \(x\) 和 \(h\) 为有限长度序列。确定在何种 \(n\) 值下，卷积 \(x * h(n)\) 必为零。
9.8 考虑一个 LTI 系统，其对序列 \(x_1(n) = u(n) - u(n-2)\) 的响应为序列 \(y_1\)。求系统对图中输入 \(x_2\) 的响应 \(y_2\)，并用 \(y_1\) 表示。
9.9 考虑下图所示系统，其中 \(\mathcal{H}\) 为 LTI 系统，\(\mathcal{G}\) 为 \(\mathcal{H}\) 的已知逆系统。设 \(y_1 = \mathcal{H} x_1\)，\(y_2 = \mathcal{H} x_2\)。
(a) 求系统 \(\mathcal{G}\) 对输入 \(y'(n) = a_1 y_1(n) + a_2 y_2(n)\) 的响应，其中 \(a_1\) 与 \(a_2\) 为复常数。
(b) 求系统 \(\mathcal{G}\) 对输入 \(y_1'(n) = y_1(n - n_0)\) 的响应，其中 \(n_0\) 为整数常数。
(c) 利用前两问的结果，判断系统 \(\mathcal{G}\) 是否线性和/或时不变。
9.10 求下列方程所描述的 LTI 系统 \(\mathcal{H}\) 的冲激响应。
(a) \(\mathcal{H} x(n) = \sum_{k=-\infty}^{n+1} x(k)\)；
(b) \(\mathcal{H} x(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k+5) e^{k-n+1} u(n-k-2)\)；
(c) \(\mathcal{H} x(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} x(k) v(n-k)\)；
(d) \(\mathcal{H} x(n) = \sum_{k=n-1}^{n} x(k)\)。
9.11 考虑图示系统，其输入为 \(x\)，输出为 \(y\)。块图中每个系统都是 LTI 系统，并标注了其冲激响应。
(a) 用 \(h_1, h_2, h_3\) 表示整体系统的冲激响应 \(h\)。
(b) 当
\[
h_1(n) = \delta(n+1), \quad h_2(n) = \delta(n), \quad h_3(n) = \delta(n)
\]
时，求整体系统的冲激响应 \(h\)。
9.12 考虑下图所示系统，输入为 \(x\)，输出为 \(y\)。该系统由两个 LTI 系统串联而成，其冲激响应分别为 \(h_1\) 和 \(h_2\)。
对于下列每对 \(h_1\) 和 \(h_2\)，若输入 \(x(n) = u(n)\)，求输出 \(y\)。
(a) \(h_1(n) = \delta(n)\)，\(h_2(n) = \delta(n)\)；
(b) \(h_1(n) = \delta(n+1)\)，\(h_2(n) = \delta(n+1)\)；
(c) \(h_1(n) = 2^{-n} u(n)\)，\(h_2(n) = \delta(n)\)。
9.13 判断下列每个冲激响应 \(h\) 对应的 LTI 系统是否因果和/或无记忆。
(a) \(h(n) = (n+1) u(n-1)\)；
(b) \(h(n) = 2 \delta(n+1)\)；
(c) \(h(n) = 2^{-n} u(n-1)\)；
(d) \(h(n) = 2^{n} u(-n-1)\)；
(e) \(h(n) = 2^{-3|n|}\)；
(f) \(h(n) = 3 \delta(n)\)。
9.14 已知两个 LTI 系统的冲激响应为
\[
h_1(n) = \frac{1}{2} \delta(n-1), \quad h_2(n) = 2 \delta(n+1)
\]
判断这两个系统是否互为逆系统。
9.15 判断下列每个冲激响应 \(h\) 对应的 LTI 系统是否 BIBO 稳定。
(a) \(h(n) = 2^{a n} u(-n)\)，其中 \(a>0\)；
(b) \(h(n) = n^{-1} u(n-1)\)；
(c) \(h(n) = 2^{n} u(n)\)；
(d) \(h(n) = \delta(n-10)\)；
(e) \(h(n) = u(n) - u(n-9)\)；
(f) \(h(n) = 2^{-|n|}\)。
9.16 已知系统 \(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2, \mathcal{H}_3, \mathcal{H}_4\) 对复指数输入 \(x(n) = e^{j 2 n}\) 的响应分别为
\[
\mathcal{H}_1 x(n) = 2 e^{j 2 n}, \quad \mathcal{H}_2 x(n) = n e^{j 2 n}, \quad \mathcal{H}_3 x(n) = e^{j 2 n + \pi/3}, \quad \mathcal{H}_4 x(n) = \cos(2 n)
\]
指出哪些系统不可能是 LTI 系统。
9.17 一个系统如果每个复指数序列都是其特征序列，并不一定是 LTI 系统。在本题中，通过反例证明这一点。考虑系统 \(\mathcal{H}\) 定义为
\[
\mathcal{H} x(n) =
\begin{cases}
\frac{x^2(n)}{x(n-1)} & \text{若 } x(n-1) \neq 0 \\
0 & \text{否则}
\end{cases}
\]
(a) 证明每个复指数序列都是 \(\mathcal{H}\) 的特征序列。
(b) 证明 \(\mathcal{H}\) 不是线性（因此不是 LTI 系统）。
9.11.2 带答案的练习
目前，没有带答案的练习。
9.11.3 MATLAB 练习
目前，没有 MATLAB 练习。